Un enunt cu echivalenta:
Fie p un numar natural impar. Atunci p este numar prim daca si numai daca ecuatia a+(a+1)+...+(a+n)=p admite exact o solutie in N* X N*.
DEMONSTRATIE
Ecuatia din enunt este echivalenta cu (2a+n)(n+1)=2p ...(1)
Cazul p=1 este evident. In cele ce urmeaza consideram p>=3.
Daca p este numar prim:
Cum a,n sunt nenule si 2a+n>n+1, deducem ca n+1=2 si 2a+n=p, adica n=1 si a=(p-1)/2. Asadar (1) admite o singura solutie in N* X N* si anume (a,n)=((p-1)/2,1).
Daca (1) are exact o solutie in N* X N*:
Presupunem ca p nu este prim.
Atunci exista u,v numere naturale impare, u>=v>=3 astfel incat p=uv.
Deci (1) <=> (2a+n)(n+1)=2uv. Observam ca perechile (a,n)=((uv-1)/2,1) si (a,n) =((2u-v+1)/2,v-1) verifica ecuatia.
Inseamna ca exista cel putin doua perechi de numere naturale nenule care verifica (1), contradictie! => p este numar prim.
