👤
a fost răspuns

1.Fie sirul ([tex] x_{n} [/tex]) cu[tex] x_{n} = sin^{2} \frac{ pi}{n} +sin^{2} \frac{ pi}{n+1}+...+sin^{2} \frac{ pi}{2n}.[/tex]. Sa se calculeze \lim_{n \to \infty} x_n .
2.Fie sirul ([tex] x_{n} [/tex]) cu [tex] x_{n} = cos a cos \frac{ a}{2}cos \frac{ a}{ ^{ 2^{2} } }...cos \frac{a}{ 2^{n} } [/tex].
a)Aratati ca [tex] x_{n} = \frac{sin2a}{ 2^{n+1}sin \frac{a}{ 2^{n} } } [/tex]
b)Studiati convergeanta sirului pentru a∈{[tex] -\frac{pi}{2} ,0, \frac{pi}{2} [/tex]}
c)Daca a∈([tex] -\frac{pi}{2} , \frac{pi}{2} [/tex])- {0} ,aratati ca sirul este convergent

Răspuns :

GEORGEDINFOZE
Aplici  inegaliatea  sinx<x x∈[0;π/2]s
sin π/n≤π/n => sin²π/n≤π²/n²
sinπ/(n+1)≤π/(n+1)=>sin²π/(n+1)≤π²/(n+1)²
..................................................................
sinπ/2n≤π/2n  sin²π/2n≤π²/(2n)
Se aduna  termen  cu termen  
sin²π/n+sin²π/(n+1)+...+sin²π/2n≤(π²/n²+π²/(n+1)²+...+π²/2n²)
In  paranteza   sunt  n+1  termeni  din  care  cel  mai   mare π²/n²
Deci  π²/n²+...+π²/2n²≤nπ²/n²=π²/n→0
cel mai  mic termen  al parantezei   este π²/2n²
Deci π²/n²+...+π²/2n²≥n*π/2n²=π/2n→0=>
Parantexa     tinde   la   o   
In   final 0≤limxn≤0 =>  lim  xn=0
b)  se aplica  formula   2sinx*Cosx=sin2x
Se   considera   xn   o   fractie   cu   numitorul   1   si   se  amplifica   cu   2*sina/2^n
xn=[cosa*cosa/2*...*(2cosa/2^n*sina/2^n)/2sina^n=cosa*cos2a*...*cosa/2^(n-1)]2*sin a/2^n=...  Se  amplica   cu   2  
si   se  obtine
xn=[cosa*cosa/2*...*sina/2^(n-2)]/2^2*sina/2^n
Se continua   procedeul   amplificarilor  cu  2   pina   cand  in  final   se   ajunge la
xn=2cosa*sina/2^(n+1)*sina/2^n=sin2a/2^n*sina/2^n
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!


Ze Lesson: Alte intrebari