👤
a fost răspuns

Demonstrati ca : 2 ^ 7n+3 +3 ^2n+1 *5 ^4n+1 este divizibil cu 23 , pt orice n natural.

Răspuns :

RENATEMAMBOUKOZE
2^(7n+3) +3^(2n+1) ×5^(4n+1) este divizibil cu 23 ⇒
P(n)=2^(7n+3) +3^(2n+1) ×5^(4n+1)=23t n∈N  t∈Z
1.Verificam P(0)    n=0
2^(7×0+3) +3^(2×0+1) ×5^(4×0+1)=
=2^3 +3^1 ×5^1=8+15=23  
2.Presupunem ca P(k) este adevarat
2^(7k+3) +3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23m       k∈N  m∈Z
2^(7k+3) +3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23m
2^(7k+3) =23m-3^(2k+1) ×5^(4k+1)   (1)

3.Sa demonstram ca P(k+1) este adevarat
2^[7(k+1)+3] +3^[2(k+1)+1] ×5^[4(k+1)+1]=23p       k∈N  m∈Z
2^(7k+10) +3^(2k+3) ×5^(4k+5)=23p    
2^7×2^(7k+3) +3^2×5^4×3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23p    
128×2^(7k+3) +5625×3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23p    
inlocuim 2^(7k+3) =23m-3^(2k+1) ×5^(4k+1)   din (1)
2944m-128×3^(2k+1) ×5^(4k+1)  +5625×3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23p
2944m-5497×3^(2k+1) ×5^(4k+1) =23p    
23[128m-239×3^(2k+1) ×5^(4k+1)] =23p

deoarece P(0) este adevarat si din P(k) ⇒P(k+1) adevarat  rezulta ca P(n) este adevarat
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!


Ze Lesson: Alte intrebari