Salut,
Să presupunem că există d un divizor comun pentru numărător și pentru numitor, d diferit de 1.
Deci d | (7n+10), unde | înseamnă divide. Dacă d divide un număr, atunci tot d divide un multiplu al lui, deci d | 5*(7n+10), deci d | (35n+50) (1).
Similar pentru numitor:
d | (5n+7), deci d divide și un multiplu al lui (5n+7), adică d | 7*(5n+7), sau d | (35n+49) (2).
Dacă d divide simultan 2 numere, atunci d divide și diferența lor. De exemplu d | a și d | b, deci există k1 și k2 astfel încât a = k1*d și b = k2*d, deci a - b = d*(k1-k2), deci d divide și diferența a - b (3).
Din (1), (2) și (3) rezultă că d divide diferența 35n+50-(35n+49) = 1, deci d | 1.
Am ajuns deci la o contradicție cu presupunerea de la început, adică d diferit de 1.
Deci d = 1, adică 7n+10 nu se divide cu 5n+7, adică numitorul și numărătorul sunt prime între ele, deci fracția este ireductibilă.
Simplu, nu ? :-).
Green eyes.
