Avem de demonstrat: daca a,b,c>0,atunci a+b+c≥√ab+√ac+√bc.Transformamrelatia prin echivalenta: [tex] \sqrt{a}^2 + \sqrt{b}^2 + \sqrt{c}^2 \geq \sqrt{ab} + \sqrt{ac}+ \sqrt{bc} [/tex], inmultim cu 2 si trecem totul in membrul stang ⇔
[tex]2 \sqrt{a}^2+2 \sqrt{b^2}+2 \sqrt{c}^2-2\sqrt{ab}-2\sqrt{ac}-2\sqrt{bc} \geq0 [/tex], relatia ramane echivalenta cu: [tex] (\sqrt{a}- \sqrt{b})^2+(\sqrt{a}- \sqrt{c})^2+( \sqrt{b}- \sqrt{c})^2 \geq 0 [/tex], relatie evident adevarata. Deci transformarile fiind facuta pastrand echivalenta, rezulta ca relatia de la care am plecat este adevarata.
Demonstratia este facuta plecand de la relatia ce trebuie demonstrata, se poate face si prin alta metoda : (√a-√b)²≥0, (√a-√b)²≥0 si (√b-√c)²≥0, le ridicam la patrat, le adunam membru cu membru, separam termeni a,b,c,in stanga si ii reducem, termeni cu radicali in dreapta si impartim cu 2, obtinem relatia ceruta.
