Prin inductie matematica.
7-1=6 divizibil cu 6
7^2-1=48 divizibil cu 6(6x8=48)
........
presupunem ca intr-adevar ipoteza este adevarata, adica
7^n-1 este divizibil cu 6.
Pentru a verifica presupunerea facuta trebuie sa demonstram ca ea este verificata si pentru n+1, adica
7^(n+1)-1 este divizibil si el cu 6:
7^(n+1)-1= 7^n x 7 -7+7-1=7(7^n-1)+6, suma de doi termeni divizibili fiecare cu 6(primul, 7^n-1 divizibil cu 6 din presupunerea inductiei iar cel de-al doilea termen, 6 este si el divizibil cu 6), deci suma lor va fi divizibila si ea cu 6.
Deci presupunerea facuta si anume ca 7^n-1 divizibil cu 6 este adevarata.
Pentru cea de-a doua:
Verificam adevarul pt n=1: 6^3+1=216+1=217=7x31, deci divizibil cu 7
Presupunem adevar pentru n: 6^(2n-1)+1 divizibil cu 7
Vom demonstra ca afirmatia facuta este adevarata si pentru n+1:
6^(2(n+1)-1) + 1 = 6^(2n+1) + 1 = 6^(2n-1)x 6^2 +36-35 = 36((6^(2n-1) + 1) - 35 = 36M7-35, deci o diferenta de doi termeni divizibili cu 7 si astfel divizibila cu 7.
Deci presupunerea facuta pentru n ca fiind adevarata, s-a demonstrat adevarata si pentru n+1.
QED
