Răspuns :
Observam ca al patrulea termen din progresie se scade, deci vom avea:
1+2+3-4+5+6+7-8+...+2009+2010+2011-2012=
(1+2+3+4+5+...+2009+2010+2011+2012)-4-8-12-...-2012=2012(2012+1)/2 -(4+8+12+...+2012)=
1006·2013-4(1+2+3+...+503)=1006·2013-4·503(503+1)/2=1006·2013-1006·504=1006(2013-504)=... calculezi...
S-a utilizat Suma Gauss:
1+2+3+..+n=n(n+1)/2
1+2+3-4+5+6+7-8+...+2009+2010+2011-2012=
(1+2+3+4+5+...+2009+2010+2011+2012)-4-8-12-...-2012=2012(2012+1)/2 -(4+8+12+...+2012)=
1006·2013-4(1+2+3+...+503)=1006·2013-4·503(503+1)/2=1006·2013-1006·504=1006(2013-504)=... calculezi...
S-a utilizat Suma Gauss:
1+2+3+..+n=n(n+1)/2
[tex]\displaystyle \\ \text{Avem sirul:} \\ 1+2+3-4+5+6+7-8+\cdots+2009+2010+2011-2012 \\ \text{Voi evidentia inca 8 termeni:} \\ 1+2+3-4+5+6+7-8+9+10+11-12+ \\ +13+14+15-16+ \cdots +2009+2010+2011-2012 \\ \text{Observam ca dupa fiecare 3 termeni pozitivi urmeaza unu negativ.} \\ \text{Vom grupa termenii sirului in grupe de 4 termeni } \\ \text{si adunam termenii din fiecare grupa.}[/tex]
[tex]\displaystyle \\ (1+2+3-4)+(5+6+7-8)+(9+10+11-12)+ \\ +(13+14+15-16)+ \cdots +(2009+2010+2011-2012) =\\ \\ = 2 + 10+18+26+ \cdots +4018 \\ \\ \text{Am obtinut un sir Gauss cu ratia = 8, pe care il putem calcula usor.} \\ \\ \text{Aflam numarul de termeni:} \\ \\ n = \frac{4018-2}{8}+1 = \frac{4016}{8}+1 = 502+1 = 503 ~\text{termeni} \\ \\ 2 + 10+18+26+ \cdots +4018 = \frac{503(4018+2)}{2}= \\ \\ \frac{503\times 4020}{2}= 503 \times 2010 = \boxed{1011030}[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!