Bănuiesc că sunt de demonstrat. Deocamdată prima. Să văd dacă am timp și de a doua. Se demonstrează prin inducție. P(n): suma de la k=1 la n din k^3=[n^2(n+1)^2]/4 Prima etapă: etapa de verificare: P(1): și înlocuiești n cu 1 in P(n) de mai sus și vezi că dă ceva adevărat. (1=1) Presupunem P(x) Adevărat și demonstrăm că implică P(x+1) Adevărat. Am zis P(x) ca să evit confuzia. P(x): suma de la k egal cu 1 la n din k la a treia=[x^2(x+1)^2]/4 P(x+1): suma de la k=1 la x+1 din k la a treia=[(x+1)^2(x+2)^2]/4. Deci trebuie sa demonstrăm că dacă P(k) e adevărat, înseamnă că și P(k+1) e adevărat. Ca să facem asta trebuie să obținem P(k+1) din P(k). În cazul asta se observă că o putem face prin a aduna (x+1)^3 la fiecare membru al P(k). Și vom avea: suma de la k=1 la x din k^3 + (x+1)^3=[x^2(x+1)^2]/4+(x+1)^3. Aducem la același numitor în membrru drept. În membrul stâng scriem aceeași chestie sub altă formă: suma de la k=1 la x+1 din k^3 = [x^2(x+1)^2+4(x+1)^3]/4 Dăm pe (x+1)^2 factor comun și rezultă: suma de la k=1 la x+1 din k la^3= [(x+1)^2(x^2+4(x+1))]/4=[(x+1)^2(x^2+4x+4))]/4. Se vede că în paranteză e dezvoltarea binomului (x+2)^2 =[(x+1)^2(x+2)^2]/4 Ceea ce e exact P(x+1) Deci am demonstrat. Și cealaltă tot cam așa e dar nu mai am timp.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!
