Elementul neutru, fie el notat cu e, al legii de compozitie interne trebuie sa verifice relatia
x 0 e = x, de unde obtinem
xe+3x+3e+6=x, rezultand
e(x+3)= -2x-6, adica
e(x+3) = -2(x+3), deci e= -2 si apartine multimii (-3, +infinit)
E3.b)
Elementul simetric, fie el notat cu s trebuie sa verifice relatia
x 0 s = e , unde e= elementul neutru care trebuie sa verifice relatia x 0 e = x
Determinam pe e mai intai
x+e-13=x de unde e=13
Vom avea x+s-13=13 de unde
s=26-x si s trebuie sa apartina multimii { -1, 0, 3, 11} de unde inlocuind pe s in relatia x=26-s obtinem multimea {27, 26, 23, 15}.
E2)
Comutativitatea legilor de compozitie din exercitiile de la punctul a) si c) rezulta in mod evident din comutativitatea sumei si produsului a doua numere
x+y supra 1+xy = y+x supra 1+yx. In mod asemanator si pentru punctul c)
La demonstrarea asociativitatii sunt calcule mai laborioase dar simple oricum.
Ma voi rezuma la demonstratia NUMAI pentru punctul a):
trebuie ca (x*y)*z=x*(y*z), si efectuam calculele in cei doi membrii ai relatiei:
M1= ((x+y)/(1+xy))* z = ((x+y)/(1+xy) + z)/ (1+(x+y)z/(1+xy)) = (x+y+z+xyz) / (1+xy+xz+yz) si in mod analog il calculati si pe
M2 care va da = M1, deci proprietatea de asociativitate a legii de compozitie interna este demonstrata.
Succes in continuare!
A fost o tema laborioasa si astept coronita!
