²E3 a)
(a+b)/2-2ab/(a+b)≤(b²-2ab+b²)/4a
(a²+b²+2ab-4ab)/2(a+b)≤(b²-2ab+a²)/4a
(a³-2ab+b²)/(a+b)≤(a²-2ab+b²)/2a
Numitorul celor 2 fractii e acelasi.Privim numitorul
a+b.>2a pt ca b>a
Numitorul din stanga e mai mare decat cel din dreapta deci fractia din stanga e mai mica decat cea din dreapta
2 Cauchi buniakovskie swarz
a²x²+b²y²+2abxy≤a²x²+b²x²+a²y²+b²y²
2abxy≤b²x²+a²y²=>
(b²x²+a²y²)/2≥abxy
Intr-adevar termenul din dreapta este media aritmetica a nr x²b² sia²y² , si cel din stanga media geometrica Conf inegalitatii mediilor avem
Ma≥Mg
Inegalitatea lui Minkovski Ridici ambii termeni la patrat si obtii
(a+b)²+(x+y)²≤(a²+x²)+b²+y²
a²+b²+2ab+x²+y²+2xy≤a²+x²+b²+y² +2√(a²+b²)*(x²+y²) simplifici prin 2
ab+xy≤√(a²+x²)*(b²+y²) ridici la patrat inegalitatea si obtii
a²b²+x²y²+2abxy≤a²b²+x²b²+a²y²+x²y²
2abxy≤a²y²+x²b² =>
(a²y²+x²b²)/2≥abxy
intr-adevar pt ca Media aritmetica a nr (ay xb)² e mai mare decat media geometrica a acestora
