sa ne amintim
[a]= partea intreaga din a = cel mai mare numar intreg ≤a
[a]:R->Z
si{a}=parte fractionara de a= a- [a]
{a}:R->[0;1)
exemple [2,3]=2; {2,3}=2,3-2=0,3
[-2,3]=-3; {-2,3}= -2,3- (-3)=-2,3+3=3-2,3=0,7
mai avem relatia {a+k}={a}, pt k ∈Z
a)
1+x+x²={1+x}
0≤1+x+x²<1 pt ca expresia din stanga trebuie sa fie egala cu o
parte fractionara, ia partea fractionara ia valori doar in [0;1)
din 0≤1+x+x²<1 scazand 1 in fiecare termen al inecuatiei duble , obtinem
-1≤x²+x<0
de fapt -1/4≤ x²+x pt ca -1/4 este minimul functiei x²+x
deci ramane conditia
-1/4≤ x²+x <0 pt x∈(-1,0) pt ca acestea sunt radacinile ecuatiei atasate functiei x²+x; si functia va lua valori negative intre radacini
acum
{1+x}={x}, pt ca 1∈Z, nu influenteza
cum x ∈ (-1.0), avem din definitie {x}=x-[x]=x-(-1) pt ca '-1"este partea intreaga a unui numar cuprins in intervalul (-1 ;0)
deci {1+x}={x}=x-(-1)=x+1
avem deci de rezolvat ecuatia
x²+x+1=x+1 dar numai in intervalul (-1;0)
rezolvand ecuatia obtinem x²=0; x=0
x∉ (-1;0) ecuatia NU are solutie
S=∅
b) cu acelerasi considerente, avem
-1/4≤x²+x<0, x∈ (-1.0)
trebuie sa rezolvam in intervalul (-1;0) ecuatia
x²+x+1= {x² +x}
cum x∈ (-1;0), x² +x ∈ [-1/4;0), atunci [x² +x]=-1
si
{x² +x}=x² +x -[x² +x]=x² +x - (-1)=x² +x +1
deci ecuatia noastra devine
x² +x +1=x² +x +1 o identitate, valabila pe tot domeniul de definitie
S= (-1;0)
