Răspuns :
f:R->R, f(x)=(x^2-3)/e^x.
f'(x)=(2x*e^x-(x^2-3)e^x)/e^(2x)=(2x-x^2+3)/e^x=-(x^2-2x-3)/e^x=-(x+1)(x-3)/e^x, oricare ar fi x apartine R.
Deci f'(x)=0 <=> x=-1 sau x=3.
Deducem ca:
f'(x)<0, oricare ar fi x apartine (-inf,-1).
f'(x)>=0, oricare ar fi x apartine [-1,3] (cu egalitate daca si numai daca x=-1 sau x=3).
f'(x)<0, oricare ar fi x apartine (3,+inf).
Adica f este strict descrescatoare pe (-inf,-1)U(3,+inf) si strict crescatoare pe [-1,3].
Deci f(x)>=min{L,f(-1)}, unde L=lim(x->+inf) din f(x).
L=0, iar f(-1)=-2/e^(-1)=-2e, deci min{L,f(-1)}=-2e.
Deci obtinem ca f(x)>=-2e, oricare ar fi x apartine R.
Cum -2e>-6, deducem ca f(x)>-6, oricare ar fi x apartine R. Q.E.D
f'(x)=(2x*e^x-(x^2-3)e^x)/e^(2x)=(2x-x^2+3)/e^x=-(x^2-2x-3)/e^x=-(x+1)(x-3)/e^x, oricare ar fi x apartine R.
Deci f'(x)=0 <=> x=-1 sau x=3.
Deducem ca:
f'(x)<0, oricare ar fi x apartine (-inf,-1).
f'(x)>=0, oricare ar fi x apartine [-1,3] (cu egalitate daca si numai daca x=-1 sau x=3).
f'(x)<0, oricare ar fi x apartine (3,+inf).
Adica f este strict descrescatoare pe (-inf,-1)U(3,+inf) si strict crescatoare pe [-1,3].
Deci f(x)>=min{L,f(-1)}, unde L=lim(x->+inf) din f(x).
L=0, iar f(-1)=-2/e^(-1)=-2e, deci min{L,f(-1)}=-2e.
Deci obtinem ca f(x)>=-2e, oricare ar fi x apartine R.
Cum -2e>-6, deducem ca f(x)>-6, oricare ar fi x apartine R. Q.E.D
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!