Răspuns :
Teorema (criteriul) lui Weierstrass: Orice sir monoton si marginit este convergent.
x_n>0, oricare ar fi n apartine N* ...(1)
x_n=(2n+1)/(n+1)=1+n/(n+1)<1+1=2, oricare ar fi n apartine N* ...(2)
Din (1) si (2) rezulta ca sirul x_n este marginit.
[x_(n+1)]/[x_n]=[(2n+3)/(n+2)]*[(n+1)/(2n+1)]=[(2n+3)(n+1)]/[(2n+1)(n+2)]=(2n^2+5n+3)/(2n^2+5n+2)=1+1/(2n^2+5n+2)>1. => x_(n+1)>x_n, oricare ar fi n apartine N*. => sirul x_n este strict crescator.
Din marginire si monotonie deducem (pe baza criteriului Weierstrass) ca sirul x_n este convergent.
x_n>0, oricare ar fi n apartine N* ...(1)
x_n=(2n+1)/(n+1)=1+n/(n+1)<1+1=2, oricare ar fi n apartine N* ...(2)
Din (1) si (2) rezulta ca sirul x_n este marginit.
[x_(n+1)]/[x_n]=[(2n+3)/(n+2)]*[(n+1)/(2n+1)]=[(2n+3)(n+1)]/[(2n+1)(n+2)]=(2n^2+5n+3)/(2n^2+5n+2)=1+1/(2n^2+5n+2)>1. => x_(n+1)>x_n, oricare ar fi n apartine N*. => sirul x_n este strict crescator.
Din marginire si monotonie deducem (pe baza criteriului Weierstrass) ca sirul x_n este convergent.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!