👤

In figura alaturata M este un punct interior patratului ABCD astfel incat m (MAD)= m(MDA)=15 .Demonstrati ca triunghiul MBC este echilateral.

In Figura Alaturata M Este Un Punct Interior Patratului ABCD Astfel Incat M MAD MMDA15 Demonstrati Ca Triunghiul MBC Este Echilateral class=

Răspuns :

propun o solutie fara a avea pretentia ca nu alta mai simpla.
fara sa intru in detalii
triunghiul MBC este isoscel (BM=MC simplu de aratat)
triunghiul AMD este isoscel (unghiurile de la baza au 15°)
ducem prin M o perpendiculara pe BC care va fi perpendiculara si pe AD
notam intersectiile cu BC si AD cu E respectiv cu F
F,M,E coliniare
FE⊥BC, FE⊥AD
AF=FD
BE=EC
pentru usurinta calculelor notam:
FM=h
ME=H
AB=BC=CD=AD=l (latura patratului)
in triunghiul FMD aplicam teorema ∡15°
MD=4FG, FG este perpendiculara coborata dun F pe MD,FG⊥MD, G∈MD

aria tr.FMD=MD x FG/2=MD^2 / 8
pe de alta parte aria FMD=FD x FM/2=l x h/4
egalam ariile:
MD^2=2lh

cu pitagora in tr. FMD scoatem MD^2
MD^2=h^2 + l^2/4, inlocuim pe MD^2
2lh=h^2 + l^2/4 din care rezulta ecuatia de grad 2 in h
4h^2-8lh+l^2=0
cu solutiile:
h1=l(2+√3)/2 si
h2=l(2-√3)/2
evident ca h<I/2 (vezi relatiile dintre laturile si unghiurile intr-un triunghi)
rezulta ca singura solutie care ne satisface este h2

h=l(2-√3)/2
H=l-h=l-l(2-√3)/2
H=l√3/2
cu pitagora in triunghiul MEC scoatem MC
MC=√(H+l^2/4)=√(3l^2/4+l^2/4)
MC=l
prin urmare triunghiul CMD este isoscel pentru ca MC=l=DC
rezulta ca ∡MDC=∡DMC=75°
rezulta ∡DCM=180-75-75=30°
si in final ∡MCB=90-30=60°=∡MBC ⇒ tr. MBC este isoscel cu un unghi de 60 deci e echilateral
sunt open la comentarii
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!


Ze Lesson: Alte intrebari