O alta varianta de rezolvare diferita de cea a lui Gunty este sa scrii relatiile lui Viete. Stii ca daca ai o ecuatie de gradul al 4lea de forma
[tex]ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0[/tex] cu solutiile x1,x2,x3,x4 atunci stim ca avem relatiile
[tex]x1+x2+x3+x4=-\frac{b}{a}[/tex]
[tex]x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=\frac{c}{a}[/tex]
In cazul nostru, stim ca x1=x2=x3=t si sa notam x4=v. Atunci avem
[tex]3t+v=14\Rightarrow v=14-3t[/tex]
[tex]3t^{2}+3tv=72\Rightarrow 3t^{2}+3t(14-3t)=72\Rightarrow -6t^{2}+42t-72=0\Rightarrow t^{2}-7t+12=t^{2}-4t-3t+12=t(t-4)-3(t-4)=(t-3)(t-4)[/tex]
Atunci avem 2 perechi de solutii
I) t=3 atunci
[tex]v=14-3t=14-9=5[/tex]
Atunci stim ca
[tex]f(5)=625-14*125+72*25+5a+b=0\Rightarrow 5a+b=-675\Rightarrow b=-5a-675[/tex]
[tex]f(3)=0\Rightarrow 81-14*27+72*9-3a+b=351+3a-5a-675=0\Rightarrow 2a=-324\Rightarrow a=-162[/tex]
Atunci avem
[tex]b=-5a-675=810-675=135[/tex]
Deci acesta e un set de solutii a=-162 si b=135
II) t=4 atunci
[tex]v=14-3t=14-12=2[/tex]
Avem atunci
[tex]f(4)=4^{4}-14*64+72*16+4a+b=512+4a+b=0\Rightarrow b=-4a-512[/tex]
[tex]f(2)=16-14*8+72*4+2a+b=192+2a-4a-512=-2a-320=0\Rightarrow a=-160[/tex]
Atunci avem
[tex]b=-4a-512=640-512=128[/tex]
Deci solutiile sunt a=-160 si b=128
