Se consideră că avem numere de două feluri: a şi xb, unde a şi b sunt cifrele, iar x este un număr până la 20
Studiem: [tex] u(a^a) ; u(1^1)=1, u(2^2)=4, u(3^3)=7, u(4^4)=6,[/tex] [tex] u(5^5)=5, u(6^6)=6, u(7^7)=u(7^3)=3, u(8^8)=u(8^4)=6,[/tex] [tex]u(9^9)=u(9^1)=9. [/tex]
Studiem şi [tex]u ( xb^{xb} ) [/tex], care [tex]= u (b^{xb} )[/tex]
[tex] u(0^p)=0 , u(1^q)=1, u(5^r)=5, u(6^s)=6 , [/tex], unde p,q,r,s∈ N.
La fiecare al 10-lea număr natural consecutiv(suma ta nu are astfel de numere) ultima cifră ajunge să se repete. Însă, din [4,10] ⇒ că la nivelul sumei, ultima cifră se va repeta la oricare al 20-lea termine pe care îl conţine.
Prin urmare[tex]u(1+2^2 + 3^3 +4^4 + ...+ 2^{20} ) [/tex][tex]= u(u(1^1) + u(2^2) + u(3^3) + u(4^4) + u(5^5) + u(6^6) + u(7^7) + [/tex][tex] u(8^8) + u(9^9) + u( 0^{10} )[/tex][tex]+ u( 1^{11} ) + u( 2^{12} ) + u( 3^{13} ) + [/tex][tex]u( 4^{14} ) + u( 5^{15} )+u( 6^{16} )+u( 7^{17} )+u( 8^{18} } )+[/tex][tex]u(9^19)+u( 0^{20} )= [/tex] [tex]u(1+4+7+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+[/tex][tex]4+9+0)=8[/tex]
2013/20= 100 rest 13 (20numere grupate in cele 100grupe)
[tex]u(a)=u(8*100+ u( 1^{1001}) + u( 2^{2002} ) + u( 3^{2003} ) [/tex][tex]+ u( 4^{2004} ) + u( 5^{2005} ) + u( 6^{2006} ) + u( 7^{2007} ) + u( 8^{2008} ) [/tex][tex] + u( 9^{2009} ) + u(0^{2010} ) + u( 1^{2011} ) + u( 2^{2012} ) + u( 3^{2013} ) [/tex][tex]=u(0+1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3)=7 [/tex], unde 7 e doar ultima cifră a calculului şi, în cele din urmă, ultima cifră a numărului a.
