Da, deci o sa-l rezolv presupunand ca forma cerintei este [tex]\cos{A}+\cos{B}-\cos{(A+B)}=\frac{3}{2}[/tex] Stim ca suma unghiurilor din triunghi este de 180 grade, adica pi [tex]A+B+C=\pi\Rightarrow C=\pi-(A+B)[/tex] Stim ca in general [tex]\cos{(\pi-x)}=-\cos{x}[/tex] Atunci in cazul nostru [tex]\cos{C}=\cos{(\pi-(A+B))}=-\cos{(A+B)}[/tex] Atunci ecuatia devine [tex]\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=\frac{3}{2}[/tex] Mai stim ca [tex]\cos{A}+\cos{B}=2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}[/tex] [tex]\cos{C}=1-2\sin^{2}{\frac{C}{2}}[/tex] Atunci ecuatia devine [tex]2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+1-2\sin^{2}{\frac{C}{2}}=\frac{3}{2}\Rightarrow 4\cos{\frac{\pi-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+2(1-2\sin^{2}{\frac{C}{2}})=3[/tex] Mai stim ca [tex]\cos{\frac{\pi}{2}-x}=\sin{x}[/tex] Deci in cazul nostru [tex]\cos{\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}}=\sin{\frac{C}{2}}[/tex] Atunci ecuatia devine [tex]4\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+2-4\sin^{2}{\frac{C}{2}}-3=0\Rightarrow 4\sin^{2}{\frac{C}{2}}-4\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+1=0[/tex] Aceasta este o ecuatie de gradul 2 in sinC/2 deci putem nota cu o variabila si sa rescriem ecuatia [tex]\sin{\frac{C}{2}}=x[/tex] Si ecuatia devine [tex]4x^{2}-4x\cos{\frac{A-B}{2}}+1=0[/tex] Stim ca x va avea numai solutii reale, deci discriminantul ecuatiei trebuie sa aiba mai mult decat 0 [tex]\delta=16\cos^{2}{\frac{A-B}{2}}-16\geq0\Rightarrow 16\cos^{2}{\frac{A-B}{2}}\geq16\Rightarrow \cos^{2}{\frac{A-B}{2}}\geq1[/tex] dupa cum stii, cosinusul poate lua valori maxim de 1, si conditia de mai sus este minimum 1, deci singura solutie a inecuatiei este: [tex]\cos{\frac{A-B}{2}}=1\Rightarrow \frac{A-B}{2}=0\Rightarrow A=B[/tex] In mod similar, se poate demonstra ca B=C. Si atunci A=B=C. adica triunghiul este echilateral.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!
