[tex]a)1\cdot2+2\cdot3+3\cdot 4+...+2003\cdot2004=\\
1(1+1)+2(2+1)+3(3+1)+....+2003(2003+1)=\\
1+1+2^2+2+3^2+3+...+2003^2+2003=\\
(1+2+3+4+5+....+2003)+(1+2^2+3^2+....+2003^2)=\\
Pentru\ prima\ paranteza\ se\ foloseste\ suma\ lui\ Gauss.\\
Pentru\ a\ doua\ paranteza\ folosim\ formula:\\
\boxed{1+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\\
Revenind:\\
\frac{2003\cdot2004}{2}+\frac{2003\cdot 2004\cdot 4007}{6}=\\
2003\cdot 1002+2003\cdot 334\cdot 4007=\\
2003(1002+1338338)=\\
2003\cdot1339340=
[/tex]
[tex]\boxed{2.682.698.020}\\
\\
b)5\cdot 10+10\cdot 15+15\cdot 20+...+10015\cdot 10020=\\
5\cdot 5(1\cdot2+2\cdot3+3\cdot 4+....+2003\cdot 2004)=\\
Paranteza\ am\ rezolvat-o\ deja\ la\ punctul\ a:\\
25\cdot 2682698020=\boxed{67.067.450.500}[/tex]
