Fie [tex]AA'\cap BC=D[/tex] (vezi figura)
Se aplică teorema lui Ceva:
Dacă AD, BB', CC' sunt concurente dacă și numai dacă [tex]\frac{C'B}{C'A}\cdot\frac{B'A}{B'C}\cdot\frac{DC}{DB}=1[/tex] .
Din teorema bisectoarei avem [tex]\frac{C'B}{C'A}=\frac{BC}{AC}[/tex]
Din triunghiul dreptunghic BAB' avem [tex]B'A=AB\cos A[/tex]
Din triunghiul dreptunghic BB'C avem [tex]B'C=BC\cos C[/tex]
Deci [tex]\frac{B'A}{B'C}=\frac{AB\cos A}{BC\cos C}[/tex]
Aplicăm teorema sinusurilor în triunghiul ABD:
[tex]\frac{BD}{\sin\widehat{BAD}}=\frac{AB}{\sin\widehat{ADB}}[/tex]
Dar [tex]\widehat{BAD}=90^{\circ}-\widehat{BA'D}=90^{\circ}-C[/tex]
Rezultă [tex]BD=\frac{AB\sin(90-C)}{\sin\widehatADB}}=\frac{AB\cos C}{\sin\widehat{ADB}}[/tex]
Procedând analog în triunghiul ADC avem [tex]DC=\frac{AC\cos B}{\sin\widehat{ADC}}[/tex]
Dar [tex]\sin\widehat{ADB}=\sin\widehat{ADC}[/tex] (sunt unghiuri suplementare)
Rezultă [tex]\frac{DC}{DB}=\frac{AC\cos B}{AB\cos C}[/tex]
Înmulțind rapoartele calculate se obține [tex]\frac{\cos A\cos B}{\cos^2 B}=1\Rightarrow\cos A\cos B=\cos^2C[/tex].
