Răspuns :
Înțeleg că trebuie calculată expresia
[tex]\frac{1}{\log_x 2\cdot\log_x 4}+\frac{1}{\log_x 4\cdot\log_x 8}+\ldots +\frac{1}{\log_x 2^{n-1}\cdot\log_x 2^n}-\frac{n-1}{n\log_x^2 2}[/tex]
Argumentele logaritmilor sunt puteri ale lui 2.
Avem, în general, [tex]\log_x 2^k=k\log_x 2[/tex].
Atunci suma pînă la penultimul termen al expresiei este
[tex]\frac{1}{2\log_x^2 2}+\frac{1}{2\cdot 3\log_x^2 2}+\ldots +\frac{1}{(n-1)\cdot n\cdot\log_x^2 2}=[/tex]
[tex]=\frac{1}{\log_x^2 2}\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{(n-1)n}\right)=\frac{1}{\log_x^2 2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=[/tex]
[tex]=\frac{1}{\log_x^2 2}\cdot\frac{n-1}{n}[/tex]
Atunci, ținând cont și de ultimul termen al expresiei (cel care se scade la sfârșit), expresia este egală cu 0.
[tex]\frac{1}{\log_x 2\cdot\log_x 4}+\frac{1}{\log_x 4\cdot\log_x 8}+\ldots +\frac{1}{\log_x 2^{n-1}\cdot\log_x 2^n}-\frac{n-1}{n\log_x^2 2}[/tex]
Argumentele logaritmilor sunt puteri ale lui 2.
Avem, în general, [tex]\log_x 2^k=k\log_x 2[/tex].
Atunci suma pînă la penultimul termen al expresiei este
[tex]\frac{1}{2\log_x^2 2}+\frac{1}{2\cdot 3\log_x^2 2}+\ldots +\frac{1}{(n-1)\cdot n\cdot\log_x^2 2}=[/tex]
[tex]=\frac{1}{\log_x^2 2}\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{(n-1)n}\right)=\frac{1}{\log_x^2 2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=[/tex]
[tex]=\frac{1}{\log_x^2 2}\cdot\frac{n-1}{n}[/tex]
Atunci, ținând cont și de ultimul termen al expresiei (cel care se scade la sfârșit), expresia este egală cu 0.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!