Răspuns :
Sa notam suma ce trebuie demonstrata cu P
[tex]P=\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}[/tex]
Observam ca un ecuatia initiala putem face urmatoarele artificii de calcul
[tex]\frac{x}{x+y}=\frac{x+y-y}{x+y}=1-\frac{y}{x+y}[/tex]
[tex]\frac{y}{y+z}=\frac{y+z-z}{y+z}=1-\frac{z}{y+z}[/tex]
[tex]\frac{z}{z+x}=\frac{z+x-x}{z+x}=1-\frac{x}{z+x}[/tex]
Si acum le putem adunam pe toate 3
[tex]\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}=3-(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x})=1\Rightarrow 3-P=1\Rightarrow P=3-1=2[/tex] deci este un nr natural
2) Ne uitam la numarator si vedem cat da
[tex]\overline{a1b}=100a+10*1+b[/tex]
[tex]\overline{a2b}=100a+10*2+b[/tex]
...........................................................
[tex]\overline{a9b}=100a+10*9+b[/tex]
Observam ca apar de 9 ori asa ca o sa avem
[tex]\overline{a1b}+\overline{a2b}+...+\overline{a9b}=9*100a+10*(1+2+..+9)+9b=9*100a+10*\frac{9*10}{2}+9b=9(100a+\frac{100}{2}+b)=9(100a+50+b)[/tex]
Dar stim ca
[tex]\overline{a5b}=100a+5*10+b=100a+50+b[/tex]
Deci cand impartim cele doua obtinem
[tex]\frac{\overline{a1b}+\overline{a2b}+...+\overline{a9b}}{\overline{a5b}}=\frac{9(100a+50+b)}{100a+50+b}=9=3^{2}[/tex] deci e patrat perfect
[tex]P=\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}[/tex]
Observam ca un ecuatia initiala putem face urmatoarele artificii de calcul
[tex]\frac{x}{x+y}=\frac{x+y-y}{x+y}=1-\frac{y}{x+y}[/tex]
[tex]\frac{y}{y+z}=\frac{y+z-z}{y+z}=1-\frac{z}{y+z}[/tex]
[tex]\frac{z}{z+x}=\frac{z+x-x}{z+x}=1-\frac{x}{z+x}[/tex]
Si acum le putem adunam pe toate 3
[tex]\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}=3-(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x})=1\Rightarrow 3-P=1\Rightarrow P=3-1=2[/tex] deci este un nr natural
2) Ne uitam la numarator si vedem cat da
[tex]\overline{a1b}=100a+10*1+b[/tex]
[tex]\overline{a2b}=100a+10*2+b[/tex]
...........................................................
[tex]\overline{a9b}=100a+10*9+b[/tex]
Observam ca apar de 9 ori asa ca o sa avem
[tex]\overline{a1b}+\overline{a2b}+...+\overline{a9b}=9*100a+10*(1+2+..+9)+9b=9*100a+10*\frac{9*10}{2}+9b=9(100a+\frac{100}{2}+b)=9(100a+50+b)[/tex]
Dar stim ca
[tex]\overline{a5b}=100a+5*10+b=100a+50+b[/tex]
Deci cand impartim cele doua obtinem
[tex]\frac{\overline{a1b}+\overline{a2b}+...+\overline{a9b}}{\overline{a5b}}=\frac{9(100a+50+b)}{100a+50+b}=9=3^{2}[/tex] deci e patrat perfect
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!