AB este secanta pentru dreptele paralele BD si AC, atunci unghiurile alterne interne vor fi egale, adica
[tex]\angle{ABD}=\angle{BAC}[/tex]
in mod similar AC este secanta pentru dreptele paralele CE si AB, atunci unghiurile alterne interne vor fi egale, adica
[tex]\angle{ACE}=\angle{BAC}[/tex]
Triunghiul ABD este dreptunghic cu unghiul D=90 grade atunci AD si BD sunt catete si AB este ipotenuza. Conform reguluii sinusului
[tex]sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}[/tex]
Avem atunci
[tex]\sin{ABD}=\sin{BAC}=\frac{AD}{AB}[/tex]
Triunghiul ACE este dreptunghic cu unghiul E=90 grade atunci AE si CE sunt catete si AC este ipotenuza atunci
[tex]\sin{ACE}=\sin{BAC}=\frac{AE}{AC}[/tex]
Din ultimele 2 relatii rezulta ca
[tex]\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}[/tex] dar cum triunghiul ABC este isoscel cu baza BC atunci AB=AC, adica va reiesi ca AD=AE
b) Notam intersectia lui DE cu AB si AC cu M respectiv N
daca AD=AE atunci triunghiul ADE este trunghi isoscel, cu
[tex]\angle{ADE}=\angle{AED}[/tex]
Stim ca D si E sunt fiecare cate 90 de grade atunci
[tex]\angle{BDM}=90-\angle{ADE}[/tex]
[tex]\angle{CEN}=90-\angle{AED}[/tex]
Din ultimele trei relatii rezulta ca
[tex]\angle{BDM}=\angle{CEN}[/tex](1)
Acum sa aplicam in cele doua triunghiuri dreptunghice si regula cosinusului
[tex]cos=\frac{cateta alaturata}{ipotenuza}[/tex]
In cazul celor doua triunghiuri
[tex]\cos{ABD}=\cos{BAC}=\frac{BD}{AB}[/tex]
[tex]\cos{ACE}=\cos{BAC}=\frac{CE}{AC}[/tex]
Din ultimele 2 relatii rezulta ca
[tex]\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}[/tex] adica BD=CE(2)
Mai stim si ca [tex]\angle{ABD}=\angle{ACE}[/tex](3)
Din 1,2,3 rezulta ca triunghiurile BDM si CEN sunt congruente dupa un caz ULU(unghi latura unghi), de unde rezulta ca BM=CN
Dar in acelasi timp AB=AM+BM=AN+CN=AC adica rezulta ca AM=AN, de unde rezulta ca AMN este un triunghi isoscel
Atunci avem
[tex]\angle{AMN}=\angle{ANM}[/tex]
si
[tex]\angle{AMN}+\angle{ANM}+\angle{BAC}=180\Rightarrow \angle{AMN}=\frac{180-\angle{BAC}}{2}[/tex]
Facem aceleasi calcul de unghiuri si in triunghiul ABC isoscel
[tex]\angle{ABC}+\angle{ACB}+\angle{BAC}=180\Rightarrow \angle{ABC}=\frac{180-\angle{BAC}}{2}[/tex]
Rezulta
[tex]\angle{AMN}=\angle{ABC}[/tex] adica egalitate de unghiuri alterne interne intre dreptele paralele MN si BC unite de secanta AB
Atunci MN||BC dar MN este parte a dreptei DE, deci DE||BC
