In triunghiul ABC, punctele M, N, P sunt mijloacele laturilor [BC], [AB], respectiv [AC]. Sa se arate ca :
a) AM (vector)+ BP(vector) +CN(vector)=0(vector)
b) AN(vector) +AP(vector) =AM (vector)
sa luam cazul medianei AM.M este mijlocul laturii BC, atunci BM=CM si vectorial[tex]\vec{BM}=\vec{MC}[/tex] Putem scrie vectorul ca[tex]\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}[/tex][tex]\vec{AM}=\vec{AC}+\vec{CM}[/tex]Adunam cele 2 relatii[tex]2\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BM}+\vec{CM}=\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BM}-\vec{BM}=\vec{AB}+\vec{AC}\Rightarrow\vec{AM}=\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2}[/tex]In mod similar, obtinem ca[tex]\vec{BP}=\frac{\vec{BA}+\vec{BC}}{2}[/tex][tex]\vec{CN}=\frac{\vec{CA}+\vec{CB}}{2}[/tex]Atunci[tex]\vec{AM}+\vec{BP}+\vec{CN}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BC}+\vec{BA}+\vec{CA}+\vec{CB})=\frac{1}{2}(\vec{AB}-\vec{AB}+\vec{AC}-\vec{AC}+\vec{BC}-\vec{BC})=\vec{0}[/tex] b) Stim ca AN este jumatate din AB si AP jumatate din AC [tex]\vec{AN}=\frac{1}{2}\vec{AB}[/tex] [tex]\vec{AP}=\frac{1}{2}\vec{AC}[/tex] si atunci rescriem pe AM [tex]\vec{AM}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})=\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}=\vec{AN}+\vec{AP}[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!
