Eu o sa iti prezint o alta varianta
Poti afla imaginea oricarei functii descoperind intervalele de monotonie si limitele acestor intervale.
Mai intai, pentru a afla intervalele de monotonie trebuie sa gasesti derivata functiei
[tex]f(x)=\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}-2x+1+1}=\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}+1}=\frac{(x-1)^{2}+1-1}{(x-1)^{2}+1}=1-\frac{1}{(x-1)^{2}+1}[/tex]
Si acum cand o derivam
[tex]f^{\prime}(x)=-\frac{-2(x-1)}{((x-1)^{2}+1)^{2}}=\frac{2(x-1)}{((x-1)^{2}+1)^{2}}[/tex]
Intervalele de monotonie sunt date de catre semnul functiei derivate.
Observi ca numaratorul este intotdeauna un numar pozitiv. Atunci, semnul derivatei depinde de partea deasupra fractiei
1) Pentru x<1, avem [tex]x-1<0\Rightarrow 2(x-1)<0[/tex]
Deci functia este cu semn negativ de la (-Inf,1) deci este descrescatoare
Acum trebuie sa aflam intre ce limite descreste
[tex]lim_{x->-Inf}{f(x)}=lim_{x->-Inf}{1-\frac{1}{x-1)^{2}+1}=1-lim_{x->-Inf}{\frac{1}{x-1)^{2}+1}=1-\frac{1}{Inf}=1[/tex] Va veni 1/infinit pentru ca la numitor o sa avem (-Inf)^2 cade da +Infinit
Pentru x=1 calculul este usor
[tex]f(1)=1-\frac{1}{(1-1)^{2}+1}=1-\frac{1}{1}=0[/tex]
Deci functie descreste de la 1 la 0 deci pe aceasta portiune imaginea functiei este [0,1). Atentie la faptul ca la hotarul 1 este deschis. Nu include valoarea 1 pentru ca asta ar insemna ca x=-Inf si nu putem ajunge la -Inf
2)Pentru x>1 avem [tex]x-1>0\Rightarrow 2(x-1)>0[/tex]
ceea ce inseamna ca derivata functiei va avea semn pozitiv pe intervalul [1,Inf]. Stim ca va creste de la f(1)=0, dar sa vedem pana la ce valoare
[tex]lim_{x->+Inf}{f(x)}=lim_{x->+Inf}{1-\frac{1}{x-1)^{2}+1}=1-lim_{x->+Inf}{\frac{1}{x-1)^{2}+1}=1-\frac{1}{Inf}=1[/tex]
Deci creste de la 0 pana la 1 din nou, deci intervalul functiei va fi identic cu cel precedent [0,1)
Deci ajungem la concluzia ca [0,1). Metoda aceasta este avantajoasa pentru ca poate fi aplicata pentru orice functie: atata timp cat derivata este usor de calculat si nu exista discontinuitati in anumite puncte.
