👤
SORANANEGOITAZE
a fost răspuns

Va rog ajutați-mă rapid...tema de vacanta
Să se determine valorile lui a €R astfel încât radacinile ecuatiei urmatoare sa indeplineasca conditiile indicate:
ax^2+(2a+1)x+a-1=0, x1 <1,x2 <1

Răspuns :

Pentru o ecuatie de forma [tex]a*x^{2}+bx+c[/tex] stim ca are solutiile
[tex]x1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
[tex]x2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}{2a}}[/tex]
unde
[tex]\Delta=b^{2}-4ac[/tex]
In cazul nostru
[tex]\Delta=(2a+1)^{2}-4a*(a-1)=4a^{2}+4a+1-4a^{2}+4a=8a+1[/tex]
Atunci
[tex]x1<1\Rightarrow \frac{-(2a+1)+\sqrt{\Delta}}{2a}<1\Rightarrow -(2a+1)+\sqrt{\Delta}<2a\Rightarrow \sqrt{\Delta}<2a+2a+1\Rightarrow \sqrt{8a+1}<4a+1[/tex]
Ridicam inegalitatea la patrat
[tex]8a+1<(4a+1)^{2}=16a^{2}+8a+1\Rightarrow 0<16a^{2}[/tex]
Deci ecuatia este adevarata daca a>0
Urmand aceiasi pasi pentru x2, ajungem la relatia
[tex]-\sqrt{8a+1}<4a+1[/tex] care atunci cand este ridicata la patrat, va duce la aceeasi formula. Deci a>0 este conditia ca valorile x1 si x2 sa fie ambele mai mici decat 1..

CRISTINATIBULCAZE
pentru ca ecuatia sa aibe solutii reale Δ=(2a+1)²-4a(a-1)≥0
4a²+4a+1-4a²+4a≥0
8a+1≥0, a≥-1/8, a∈[-1/8, +∞)
x1<1
x2<1
x1+x2<2
din relatiile lui Viete
x1+x2=-(2a+1)/a
-(2a+1)/a<2
-(2a+1)/a-2<0
-(2a+1)/a-2a/a<0
(-2a-1-2a)/a<0
(4a+1)/a>0, 
    a       I-∞             -1/4                  0                  +∞
     4a+1I-----------------0+++++++++++++++++++++
    a       I-----------------------------------0++++++++++
(4a+1)/aI++++++++++0----------------I++++++++++
a∈(-∞-1/4]∪(0,+∞)
a∈[-1/8,+∞)
a∈(0, +∞)
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!


Ze Lesson: Alte intrebari