Răspuns :
Calculam derivata functiei
[tex]f^{\prime}(x)=\frac{(x+3)^{\prime}*(x+1)-(x+3)*(x+1)^{\prime}}{(x+1)^{2}}=\frac{x+1-x-3}{(x+1)^{2}}=\frac{-2}{(x+1)^{2}}\leq 0[/tex] Deci derivata este strict negativa pentru orice valoare a lui x pozitiv: atunci functia este strict descrescatoare, deci este strict monotona, adica este injectiva.
Sa vedem acum ce plaja de valori ia f(x).
Cea mai mare valoare este obtinuta pentru x=0
[tex]f(0)=\frac{0+3}{0+1}=3[/tex]
Cea mai mica valoare este obtinuta pentru x=+Inf
[tex]lim_{Inf}\frac{x+3}{x+1}=lim_{Inf}\frac{x}{x}*\frac{1+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1+\frac{3}{Inf}}{1+\frac{1}{Inf}}=1[/tex]
deci y este in (1,3) adica tocmai intervalul in care este reflectata functia, deci este si surjectiva.
Fiind injectiva si surjectiva, atunci inseamna ca e bijectiva.
[tex]f^{\prime}(x)=\frac{(x+3)^{\prime}*(x+1)-(x+3)*(x+1)^{\prime}}{(x+1)^{2}}=\frac{x+1-x-3}{(x+1)^{2}}=\frac{-2}{(x+1)^{2}}\leq 0[/tex] Deci derivata este strict negativa pentru orice valoare a lui x pozitiv: atunci functia este strict descrescatoare, deci este strict monotona, adica este injectiva.
Sa vedem acum ce plaja de valori ia f(x).
Cea mai mare valoare este obtinuta pentru x=0
[tex]f(0)=\frac{0+3}{0+1}=3[/tex]
Cea mai mica valoare este obtinuta pentru x=+Inf
[tex]lim_{Inf}\frac{x+3}{x+1}=lim_{Inf}\frac{x}{x}*\frac{1+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1+\frac{3}{Inf}}{1+\frac{1}{Inf}}=1[/tex]
deci y este in (1,3) adica tocmai intervalul in care este reflectata functia, deci este si surjectiva.
Fiind injectiva si surjectiva, atunci inseamna ca e bijectiva.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!