Te poti folosi de acea relatie pentru a simplifica suma
Daca
[tex]A^{2}+A^{3}=O_{2}[/tex] putem inmulti relatia cu A la orice putere
[tex]A^{2}*A^{n}+A^{3}*A^{n}=)_{2}*A^{n}\Rightarrow A^{n+2}+A^{n+3}=O_{2}[/tex]
Mai mult,putem observa in sir ca fiecare coeficient al lui A este egal cu exponentul sau
[tex](n-1)A^{n-1}+n*A^{n}=(n-1)A^{n-1}+(n-1)A^{n}+A^{n}=(n-1)A^{n}+A^{n}=(n-1)O_{2}+A^{n}=A^{n}[/tex]
Atunci putem lua fiecare pereche consecutiva: (3,4),(5,6),(7,8),(9,10), aplicam regula observata mai sus si o sa obtinem la sfarsitul adunarii A la exponentul par
[tex]A+2A^{2}+3(A^{3}+A^{4})+A^{4}+..+9(A^{9}+A^{10})+A^{10}=A+2A^{2}+A^{4}+A^{6}+A^{8}+A^{10}[/tex]
Acum, relatia de la b tu ai dedus-o folosindu-te de faptul ca
[tex]A+A^{2}=O_{2}\Rightarrow A^{2}=-A[/tex]
Deci putem folosi aceasta relatie sa simplificam si mai mult relatia
[tex]-A^{2}+2A^{2}+A^{4}+A^{6}+A^{8}+A^{10}=A^{2}+A^{4}+A^{6}+A^{8}+A^{10}[/tex]
Acum sa vedem ce se intampla cand inmultim A^{2} cu A^{2}
[tex]A^{4}=A^{2}*A^{2}=(-A)*(-A)=A^{2}[/tex]
Deci daca inmultesti pe A^{2} cu el insusi, il obtii tot pe el. Si fiecare dintre termenii din suma sunt inmultiri succesive ale lui A^{2}. Deci la final
[tex]A^{2}+2A^{2}+A^{4}+A^{6}+A^{8}+A^{10}=A^{2}+A^{2}+A^{2}+A^{2}+A^{2}=5A^{2}[/tex]
