Presupunem ca primul termen al progresiei aritmetice ar fi a1, si ratia este r
Atunci stim ca in general
[tex]a_{n}=a_{1}+(n-1)*r[/tex]
Deci pentru produsul a n termeni am avea relatia
[tex]P=a_{1}*a_{2}*...*a_{n}=a_{1}*(a_{1}+r)*(a_{1}+2*r)*...*(a_{1}+(n-1)*r)[/tex]
Da-mi factor comun pe r in fiecare dintre paranteze
[tex]P=a_{1}*r(\frac{a_{1}}{r}+1)*r(\frac{a_{1}}{r}+2)*...*r(\frac{a_{1}}{r}+n-1)=a_{1}*r^{n-1}*(\frac{a_{1}}{r}+1)*(\frac{a_{1}}{r}+2)*...*(\frac{a_{1}}{r}+n-1)[/tex]
Putem face un mic truc: adaugam un r si il si impartim pe r la inceput. De asemenea notam fractia respectiva cu t
[tex]\frac{a_{1}}{r}=t[/tex]
[tex]P=r*\frac{a_{1}}{r}*r^{n-1}*(t+1)*(t+2)*..*(t+n-1)=r^{n}*t*(t+1)*..*(t+n-1)[/tex]
Aici este util sa stii ce este un factorial: produsul tuturor elementelor mai mici decat un numar n
[tex]n!=1*2*3*..*n[/tex]
Acum sa consideram un numar m<n, si sa vedem cat da raportul dintre aceste doua factoriale
[tex]\frac{n!}{m!}=\frac{1*2*3*..*m*m+1*...*n-1*n}{1*2*..*m}=(m+1)*(m+2)*...*n[/tex] Dar in cazul nostru observi ca sirul porneste de la t, nu de la t+1, si ultimul termen este n-1. Deci avem nevoie de un factorial cu un termen mai putin de forma
[tex]\frac{n!}{n}=1*2*...*(n-1)[/tex] Atunci daca impartim obtinem
[tex]\frac{\frac{n!}{n}}{\frac{m!}{m}}=\frac{n!*m}{n*m!}=\frac{m*(m+1)*(m+2)*...(n-1)*n}{n}=m*(m+1)*(m+2)*...(n-1)[/tex]
Adica exact forma de care aveam nevoie. Prin substituire, vedem ca in cazul nostru m=t, si n=t+n. Atunci
[tex]P=r^{n}*\frac{(t+n)!*t}{(t+n)*t!}[/tex]
