👤

Sa se arate ca exista o infinitate de numere irationale x si y cu proprietatea ca x+y=xy apartine lui N .

Răspuns :


Să arătăm că există o infinitate de numere de forma

x = a +√b ,  y = a - √b  cu proprietatea din enunț.

xy =x + y ⇒ (a +√b)(a -√b) = a +√b+a -√b ⇒ a² - b = 2a ⇒ a² - 2a = b⇒

⇒a(a-2) = b.

Se arată că a(a-2) nu este pătrat perfect, pentru oricare  a > 2.

Deci  a ± √b sunt iraționale

Concluzia:

x = a +√b ,  y = a - √b, cu b = a(a - 2), a>2