f(x,y,z) =3*x^2+y^3+2*z^2-18*x-12*y-4*z+13
5) la derivate partiale, derivezi functia in raport cu x,y,z.
d f/ dx =f[tex] f'_{x} (x,y,z)[/tex] '(x) =(3*x^2+y^3+2*z^2-18*x-12*y-4*z+13)' =
=3*2*x + 0 + 0 -18 - 0 - 0 + 0=
= 6*x-18
d f/ dy =[tex] f'_{y}(x,y,z) [/tex] =(3*x^2+y^3+2*z^2-18*x-12*y-4*z+13)' =
= 0 +3*y^2+0 - 0 -12 - 0+0=
=3*y^2-12
d f/ dz=[tex] f'_{z} (x,y,z)[/tex] =(3*x^2+y^3+2*z^2-18*x-12*y-4*z+13)' =
= 0 + 0+ 2*2*z- 0 - 0 -4 + 0 =
= 4*z -4
gradientul (triunghiul intors) = (df/dx , df/dy, df/dz)=
=(6*x-18 ,3*y^2-12,4*z -4 )
6) la derivate partiale de ordin 2 (derivezi inca o data funcia in raport cu x,y,z)
de la punctul 5 ai :
d f/ dx=6*x-18
d f/dy=3*y^2-12
df /dz=4*z-4
=> d^2 f/ d^2 x = (6*x-18)' =6
=> d^2 f/ d^2 y =(3*y^2-12)'=6*y
=> d^2 f/ d^2 x=(4*z-4 )' =4
hessiana este defapt(o matrice) derivata de ordin 2 a functiei in raport cu x,y,z astfel:
(d^2 f/ d^2 x este de fapt d^2 f/ d x d x )
[tex] H= \left [ \begin{array}{ccc} {\frac{d^2 f }{ d x d x}} &{\frac{d^2 f }{ d x d y}}&{\frac{d^2 f }{ d x d z}}\\ \\{\frac{d^2 f }{ d y d x}}&{\frac{d^2 f }{ dy d y}}&{\frac{d^2 f }{ d y d z}}\\ \\ {\frac{d^2 f }{ d z d x} }&{\frac{d^2 f }{ d z d y}} & {\frac{d^2 f }{ d z d z}}\end{array}\right] [/tex]
stii deja de la 5 :
d f/ dx=6*x-18
d f/dy=3*y^2-12
df /dz=4*z-4
[tex] H= \left[\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&6*y&0\\0&0&4\end{array}\right] [/tex]
pentru punctele de extrem sa folosesc punctele 5) si 6)
urmezi 2 pasi:
1) se afla punctele stationare(=puncte critice).( egalezi derivatele partiale de gradul I cu 0 si rezolvi sistemul)
[tex]\left \{ {f'_{x} {x,y,z}=0 ; f'_{y} {x,y,z}=0 ; f'_{z} {x,y,z}=0} , [/tex]
de la 5 ai :
d f/ dx=6*x-18 =0 => x=3
d f/dy=3*y^2-12 =0 =>y^2=4 => y=+/- 2
df /dz=4*z-4 =0 =>z=1
deci ai 2 puncte stationare[tex] M_{1} [/tex](3,2,1) si [tex] M_{2} [/tex](3,-2,1)
apoi de la 6 stim hessiana:
[tex] H= \left[\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&6*y&0\\0&0&4\end{array}\right] [/tex]
acum o calculam cu ajutorul punctelor critice(stationare)
[tex] H(3,2,1)= \left[\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&6*2&0\\0&0&4\end{array}\right] [/tex]
minorul 1(se noteaza [tex] delta_{1} [/tex] )
[tex]\left[\begin{array}{ccc}6&0\\0&6*2\end{array}\right] \ \textgreater \ 0 [/tex]
si det H>0 => (3,2,1) este punct de minim local pt f
iar pt (3,-2,1) => minorul 1 <0 si det H<0 => [tex]M_{2} [/tex] nu este punct de extrem local
