Pentru rezolvarea exercitiului ai la dispozitie 2 metode. Prima metoda se va baza pe formule invatate in clasa a10a de geometrie analitica, iar la a2a metoda se va folosi regula lui Sarrus pentru determinanti.
Varianta I
Pentru ca cele 3 puncte sa fie coliniare se va calcula ecuatia dreptei AB si se va pune conditia ca punctul C sa se afle pe dreapta.
Ecuatia dreptei determinata de 2 puncte este:
[tex]d: \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}[/tex]
Se aplica pentru dreapta AB cu punctele A(1;3) si B(-2;5) :
[tex]AB: \frac{x-1}{-2-1}=\frac{y-3}{5-3} \\\\ \frac{x-1}{-3}=\frac{y-3}{2}\\\\ 2x-2+3y-9=0 \\\\\\ \underline{AB: 2x+3y-11=0}[/tex]
Pentru ca punctul C(3;m) sa apartina dreptei AB trebuie sa verifice ecuatia acesteia, variabila x fiind inlocuita de 3 si variabila y de catre m.
[tex]2*3+3*m-11=0 \\\\ 6-11+3m=0 \\\\ -5+3m=0 \\\\ \boxed{m= \frac{5}{3}}[/tex]
Varianta II
Avem determinantul determinat de cele 3 puncte:
[tex] det(A)= \left|\begin{array}{ccc}1&3&1\\-2&5&1\\3&m&1\end{array}\right| [/tex]
Se aplica regula lui Sarrus:
-se coboara primele 2 randuri sub determinant
-diferenta dintre ~suma produselor numerelor de pe diagonalele descendente si suma produselor numerelor de pe diagonalele ascendente ~ va fi egala cu 0
[tex] \left|\begin{array}{ccc}1&3&1\\-2&5&1\\3&m&1\end{array}\right|=0 \\\\ . \ \ \ 1 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 1 \\. -2 \ \ \ \ 5 \ \ \ 1 \\\\\\ 1*5*1+(-2)*m*1+3*3*1-1*5*3- 1*m*1- \\ -1*3*(-2)=0 \\\\ 5-2m+9-15-m+6=0 \\\\ 20-15-3m=0 \\\\ 5-3m=0 \\\\ -3m=-5 \\\\ 3m=5 \\\\ \boxed{m=\frac{5}{3}}[/tex]
