Răspuns :
P: y = x² - 4x + 3
d1: y = x - 3
d2: y = -2x - 12
d3: y = 2x - 6
Pentru a stabili pozitia dreptelor d1, d2, d3 fata de parabola P, rezolvam
sistemul format din ecuatia parabolei P si ecuatiile celor 3 drepte.
Cazul 1
y = x² - 4x + 3
y = x - 3
x² - 4x + 3 = x - 3 ⇔ x² - 4x + 3 - x + 3 = 0 ⇔ x² - 5x + 6 = 0
Δ = (-5)² - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1 ⇒ √Δ = 1
x₁ = (5 + 1) : 2 = 6 : 2 = 3
x₂ = (5 - 1) : 2 = 4 : 2 = 2
Pentru x₁ = 3 obtinem y₁ = 0 si avem punctul A(3 , 0).
Pentru x₂ = 2 obtinem y₂ = -1 si avem punctul B(2 , -1).
In acest caz dreapta d1 este secanta fata de parabola P:
d1 ∩ P = {A, B}.
Cazul 2
y = x² - 4x + 3
y = -2x - 12
x² - 4x + 3 = -2x - 12 ⇔ x² - 4x + 3 + 2x + 12 = 0 ⇔ x² - 2x + 15 = 0
Δ = (-2)² - 4 · 1 · 15 = 4 - 60 = -56
Deoarece Δ < 0 rezulta ca ecuatia de gradul doi nu are radacini
reale.
Deci dreapta d2 nu intersecteaza parabola P in niciun punct:
d2 ∩ P = ∅.
Cazul 3
y = x² - 4x + 3
y = 2x - 6
x² - 4x + 3 = 2x - 6 ⇔ x² - 4x + 3 - 2x + 6 = 0 ⇔ x² - 6x + 9 = 0
(x - 3)² = 0 ⇒ x₁ = x₂ = 3.
Pentru x = 3 se obtine y = 0 si avem punctul A(3 , 0)
In acest caz dreapta d3 este tangenta fata de parabola P:
d3 ∩ P = {A}.
d1: y = x - 3
d2: y = -2x - 12
d3: y = 2x - 6
Pentru a stabili pozitia dreptelor d1, d2, d3 fata de parabola P, rezolvam
sistemul format din ecuatia parabolei P si ecuatiile celor 3 drepte.
Cazul 1
y = x² - 4x + 3
y = x - 3
x² - 4x + 3 = x - 3 ⇔ x² - 4x + 3 - x + 3 = 0 ⇔ x² - 5x + 6 = 0
Δ = (-5)² - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1 ⇒ √Δ = 1
x₁ = (5 + 1) : 2 = 6 : 2 = 3
x₂ = (5 - 1) : 2 = 4 : 2 = 2
Pentru x₁ = 3 obtinem y₁ = 0 si avem punctul A(3 , 0).
Pentru x₂ = 2 obtinem y₂ = -1 si avem punctul B(2 , -1).
In acest caz dreapta d1 este secanta fata de parabola P:
d1 ∩ P = {A, B}.
Cazul 2
y = x² - 4x + 3
y = -2x - 12
x² - 4x + 3 = -2x - 12 ⇔ x² - 4x + 3 + 2x + 12 = 0 ⇔ x² - 2x + 15 = 0
Δ = (-2)² - 4 · 1 · 15 = 4 - 60 = -56
Deoarece Δ < 0 rezulta ca ecuatia de gradul doi nu are radacini
reale.
Deci dreapta d2 nu intersecteaza parabola P in niciun punct:
d2 ∩ P = ∅.
Cazul 3
y = x² - 4x + 3
y = 2x - 6
x² - 4x + 3 = 2x - 6 ⇔ x² - 4x + 3 - 2x + 6 = 0 ⇔ x² - 6x + 9 = 0
(x - 3)² = 0 ⇒ x₁ = x₂ = 3.
Pentru x = 3 se obtine y = 0 si avem punctul A(3 , 0)
In acest caz dreapta d3 este tangenta fata de parabola P:
d3 ∩ P = {A}.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!