Fie legea de compozitie: x*y=xy-2x-2y+P.
Pentru a o rezolva, o vom aduce initial la o forma mai simpla:
dand factor comun fortat, legea devine:
x*y=x(y-2) .... Acum, noi avem in prima paranteza y-2, si trebuie sa facem cumva sa avem si in a 2-a la fel, de aceea vom proceda astfel: observam ca -2y+P se poate scrie sub forma: -2(y-2)-4+P, adica -2y+4-4+P, deci tot acelasi lucru ne va da, doar ca am adus termenul sub o alta forma pentru a completa factorul comun din prima parte a legii. Aceasta tehnica se aseamana cu factorul comun fortat de la limite cand avem cazul inf/inf...Revenind:
Legea completa devine:
x*y=x(y-2)-2(y-2)-4+P = (y-2)(x-2)-4+P . Deoarece legea e compusa din Inmultire si adunare, acestea sunt parti stabile, si comutative pe R, de aceea putem scrie: x*y=(x-2)(y-2)+P-4
Conditia de existenta al unui element neutru este:
x*e=e*x=x. Vom incepe prin a demonstra x*e=x (atentie, la examene trebuie sa demonstrezi si e*x=x pentru a primi punctajul complet)
x*e=x <=> (e-2)(x-2)+P-4-x=0 => ex-2e-2x+P+4-4-x=0 =>
ex-2e-3x+P=0 => Inca odata dau factor comun fortat:
e(x-2)-3(x-2)+P-6 => De ce e asa? Deoarece: e(x-2) = ex-2e, prima parte; iar -3(x-2)-6+P = -3x+6-6+P, a 2-a parte (aici noi aveam +6 si ne trebuia +0, cat adun/scad ca sa obtin 0 din +6? R: -6) =>
El neutru devine: (x-2)(e-3)+P-6=0.
Din ipoteza, cand exista element neutru aici? cand produsul si suma dau zero. Cand un produs da 0? cand unul din factori e 0. Noi trebuie sa ne legam de e => e-3=0. Cand e-3=0? Cand suma P-6 = 0. Cand P-6=0? Cand P=6 (Ca sa existe e=3 el neutru, P-6 trebuie sa fie 0).
Concluzie: Pentru P-6=0, exista e=3 el neutru pentru legea data.
Analog se demonstreaza si pentru e*x=x
