Răspuns :
Duci inaltimea h a piramidei patrulatere din V pe planul ABCD. Notezi baza inaltimei cu punctul O si atunci o sa ai inaltimea VO. In piramida patrulatera, O se afla la intersectia diagonalelor patratului, deci stii ca O se afla la mijlocul diagonalei AC.
Noteaza cu P mijlocul laturii BC si acum uneste V cu P. Acum, mai stii ca VO este perpendicular pe planul (ABCD), OP este o linie in planul (ABCD) deci VO este perpendicular pe OP, atunci [tex]\angle{VOP}=90[/tex] triunghiul VOP este dreptunghic cu VO so OP catete. mai stii ca O este mijlocul lui AC si P este mijlocul lui BC, atunci OP este linie mijlocie in triunghiul ABC, paralela cu AB. Din teorema liniei mijlocii[tex]OP=\frac{AB}{2}=\frac{l}{2}[/tex] unde l este latimea patratului. VP este ipotenuza Folosind teorema lui Pitagora[tex](VP)^{2}=(VO)^{2}+(OP)^{2}=h^{2}+(\frac{l}{2})^2=h^{2}+\frac{l^{2}}{4}[/tex]Observam ca VP este mediana in triunghiul VBC, dar VBC este triunghi isoscel cu VB=VC fiind muchii ale piramidei regulate, atunci VP va fi si inaltime,Ducem inaltimea din B pe latura VC si o notam cu E. Atunci stiind ca:[tex]A_{\delta}=\frac{h*b}{2}[/tex] Putem vedea urmatoarea relatie[tex]A_{VBC}=\frac{VP*BC}{2}=\frac{BE*VC}{2}\Rightarrow BE=\frac{VP*BC}{VC}=\frac{l*\sqrt{h^{2}+\frac{l^{2}}{4}}}{VC}[/tex] Acum ducem si inaltimea din O pe latura VC si o notam cu M. OC este parte din planul ABCD, deci VO este perpendicular pe OC, atunci VOC triunghi dreptunghic cu [tex]\angle{VOC}=90[/tex] catetele sunt VO si OC, VC este ipotenuza. si atunci daca OM este inaltimea triunghiului si stiind ca pentru un triunghi dreptunghic[tex]A_{drept}=\frac{cateta1*cateta2}{2}[/tex]Putem scrie aria triunghiului dreptunghic in doua feluri[tex]A_{VOC}=\frac{VO*OC}{2}=\frac{OM*VC}{2}\Rightarrow OM=\frac{h*\frac{l\sqrt{2}}{2}}{VC}[/tex]Acum unim punctul M cu D si ne uitam putin la triunghiul BMD. Observam mai intai ca triunghiul OMB este congruent cu triunghiul OMD: latura comuna OM [tex]OC=OD=\frac{l\sqrt{2}}{2}[/tex] si unghiurile dintre aceste drepte sunt egale prin simetrie, atunci din congruenta, rezulta ca MB=MD, atunci triunghiul OMD este isoscel. MO este mediana (O se afla la mijlocul lui BD) de unde rezulta ca MO este si inaltime, deci MOB triunghi dreptunghic[tex]\angle{MOB}=90[/tex] catetele sunt OM si OB, ipotenuza este BMCalculam cat este ipotenuza BM cu teorema lui Pitagora:[tex](BM)^2=(OM)^2+(OB)^2=\frac{h^{2}l^{2}}{2(VC)^{2}}+\frac{l^{2}}{2}=\frac{l^{2}}{2}(1+\frac{h^{2}}{(VC)^{2}}=\frac{l^{2}}{2}(\frac{h^{2}+(VC)^{2}}{(VC)^{2}})[/tex] Dar stim ca VOC este dreptunghic cu ipotenuza VC, din nou cu teorema lui Pitagora[tex](VC)^{2}=(VO)^{2}+(OC)^{2}=h^{2}+\frac{l^{2}}{2}[/tex]atunci inlocuind pe VC la patrat in formula pentru BM[tex](BM)^2=\frac{l^{2}}{2}(\frac{h^{2}+h^{2}+\frac{l^{2}}{2}}{(VC)^{2}})=\frac{l^{2}(h^{2}+\frac{l^{2}}{4})}{(VC)^{2}}\Rightarrow BM=\frac{l*\sqrt{h^{2}+\frac{l^{2}}{4}}}{VC}=BE[/tex]Deci ajungem la concluzia ca BM=BE. Dar E,M apartin ambele muchiei VC, deci inseamna ca sunt de fapt acelasi punct M=E il notam cu M de acum inainte
Atunci stim ca: OM perpendicular VC, BM perpendicular pe VC, OM apartine planului VOC, BM apartine planului VAC, si VC este latura comuna intre planurile(VAC,VOC) deci unghiul dintre planuri este [tex]BMO[/tex]
Stim deja ca OM perpendicular pe OB(inaltime in BMD aflaram relatia inainte), atunci din nou folosim tangenta[tex]tgBMO=\frac{OB}{OM}\Rightarrow \angle{BMO}=arctg\frac{OB}{OM}[/tex] unde OB si OM au fost aflate mai sus
Noteaza cu P mijlocul laturii BC si acum uneste V cu P. Acum, mai stii ca VO este perpendicular pe planul (ABCD), OP este o linie in planul (ABCD) deci VO este perpendicular pe OP, atunci [tex]\angle{VOP}=90[/tex] triunghiul VOP este dreptunghic cu VO so OP catete. mai stii ca O este mijlocul lui AC si P este mijlocul lui BC, atunci OP este linie mijlocie in triunghiul ABC, paralela cu AB. Din teorema liniei mijlocii[tex]OP=\frac{AB}{2}=\frac{l}{2}[/tex] unde l este latimea patratului. VP este ipotenuza Folosind teorema lui Pitagora[tex](VP)^{2}=(VO)^{2}+(OP)^{2}=h^{2}+(\frac{l}{2})^2=h^{2}+\frac{l^{2}}{4}[/tex]Observam ca VP este mediana in triunghiul VBC, dar VBC este triunghi isoscel cu VB=VC fiind muchii ale piramidei regulate, atunci VP va fi si inaltime,Ducem inaltimea din B pe latura VC si o notam cu E. Atunci stiind ca:[tex]A_{\delta}=\frac{h*b}{2}[/tex] Putem vedea urmatoarea relatie[tex]A_{VBC}=\frac{VP*BC}{2}=\frac{BE*VC}{2}\Rightarrow BE=\frac{VP*BC}{VC}=\frac{l*\sqrt{h^{2}+\frac{l^{2}}{4}}}{VC}[/tex] Acum ducem si inaltimea din O pe latura VC si o notam cu M. OC este parte din planul ABCD, deci VO este perpendicular pe OC, atunci VOC triunghi dreptunghic cu [tex]\angle{VOC}=90[/tex] catetele sunt VO si OC, VC este ipotenuza. si atunci daca OM este inaltimea triunghiului si stiind ca pentru un triunghi dreptunghic[tex]A_{drept}=\frac{cateta1*cateta2}{2}[/tex]Putem scrie aria triunghiului dreptunghic in doua feluri[tex]A_{VOC}=\frac{VO*OC}{2}=\frac{OM*VC}{2}\Rightarrow OM=\frac{h*\frac{l\sqrt{2}}{2}}{VC}[/tex]Acum unim punctul M cu D si ne uitam putin la triunghiul BMD. Observam mai intai ca triunghiul OMB este congruent cu triunghiul OMD: latura comuna OM [tex]OC=OD=\frac{l\sqrt{2}}{2}[/tex] si unghiurile dintre aceste drepte sunt egale prin simetrie, atunci din congruenta, rezulta ca MB=MD, atunci triunghiul OMD este isoscel. MO este mediana (O se afla la mijlocul lui BD) de unde rezulta ca MO este si inaltime, deci MOB triunghi dreptunghic[tex]\angle{MOB}=90[/tex] catetele sunt OM si OB, ipotenuza este BMCalculam cat este ipotenuza BM cu teorema lui Pitagora:[tex](BM)^2=(OM)^2+(OB)^2=\frac{h^{2}l^{2}}{2(VC)^{2}}+\frac{l^{2}}{2}=\frac{l^{2}}{2}(1+\frac{h^{2}}{(VC)^{2}}=\frac{l^{2}}{2}(\frac{h^{2}+(VC)^{2}}{(VC)^{2}})[/tex] Dar stim ca VOC este dreptunghic cu ipotenuza VC, din nou cu teorema lui Pitagora[tex](VC)^{2}=(VO)^{2}+(OC)^{2}=h^{2}+\frac{l^{2}}{2}[/tex]atunci inlocuind pe VC la patrat in formula pentru BM[tex](BM)^2=\frac{l^{2}}{2}(\frac{h^{2}+h^{2}+\frac{l^{2}}{2}}{(VC)^{2}})=\frac{l^{2}(h^{2}+\frac{l^{2}}{4})}{(VC)^{2}}\Rightarrow BM=\frac{l*\sqrt{h^{2}+\frac{l^{2}}{4}}}{VC}=BE[/tex]Deci ajungem la concluzia ca BM=BE. Dar E,M apartin ambele muchiei VC, deci inseamna ca sunt de fapt acelasi punct M=E il notam cu M de acum inainte
Atunci stim ca: OM perpendicular VC, BM perpendicular pe VC, OM apartine planului VOC, BM apartine planului VAC, si VC este latura comuna intre planurile(VAC,VOC) deci unghiul dintre planuri este [tex]BMO[/tex]
Stim deja ca OM perpendicular pe OB(inaltime in BMD aflaram relatia inainte), atunci din nou folosim tangenta[tex]tgBMO=\frac{OB}{OM}\Rightarrow \angle{BMO}=arctg\frac{OB}{OM}[/tex] unde OB si OM au fost aflate mai sus
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!