Răspuns :
Pentru ca fracţia să fie un număr natural, atunci produsul numerelor de la 1 la 40 (de la numărător) trebuie sa se dividă
şi la 2 la puterea x,
şi la 3 la puterea y,
si la 7 la puterea z.
Numerele de la 1 la 40 care se divid la 7 sunt următorii multipli ai lui 7 mai mici de 40:
7·1=7, 7·2=14, 7·3=21, 7·4=28, 7·5=35 (observam ca deja 7·6 = 42 > 40)
iar produsul numerelor mai mici de 40 (factorilor de la numărător) care se divid la 7 este
7·14·21·28·35 = 7·1·7·2·7·3·7·4·7·5 = 7·7·7·7·7·(1·2·3·4·5) = [tex] 7^{5} [/tex]·1·2·3·4·5
rezultă că z=5
Numerele de la 1 la 40 care se divid la 3 sunt următorii multipli ai lui 3 mai mici de 40:
3·1=3, 3·2=6, 3·3=9, 3·4=12, 3·5=15, 3·6=18, 3·7=21, 3·8=24, 3·9=27, 3·10=30, 3·11=33, 3·12=36, 3·13=39 (observam ca deja 3·14 = 42 > 40)
Deci produsul factorilor de la numărător care se divid cu 3 este
3·6·9·12·15·18·21·24·27·30·33·36·39 =
= (3·1)·(3·2)·(3·3)·(3·4)·(3·5)·(3·6)·(3·7)·(3·8)·(3·9)·(3·10)·(3·11)·(3·12)·(3·13) =
= 3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13) =
= [tex] 3^{13} [/tex]·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13) =
[iar printre factorii de la 1 la 13, din paranteză,
se divid la 3 numerele 3, 6, 9 şi 12
(dintre care 9 = 3·3 =[tex] 3^{2} [/tex] este la rândul său o putere a lui 3)]
= [tex] 3^{13} [/tex]·[1·2·3·4·5·(3·2)·7·8·[tex] 3^{2} [/tex]·10·11·(3·4)·13] =
= [tex] 3^{13} [/tex]·3·3·[tex] 3^{2} [/tex]·3·(1·2·4·5·2·7·8·10·11·4·13) =
= [tex] 3^{13} [/tex]·[tex] 3^{5} [/tex]·(1·2·4·5·2·7·8·10·11·4·13) =
= [tex] 3^{13+5} [/tex]·(1·2·4·5·2·7·8·10·11·4·13) =
= [tex] 3^{18} [/tex]·(1·2·4·5·2·7·8·10·11·4·13)
rezultă că y=18
Factorii de la numărător care se divid la 2 sunt multipli de 2 mai mici sau egali cu 40:
2·1=2, 2·2=4, 2·3=6, 2·4=8, 2·5=10, 2·6=12, 2·7=14, 2·8=16, …, 2·16=32, …, 2·20=40
iar produsul acestor factori este
2·4·6·8·10·12·14·16·…·32·34·36·38·40 =
= (2·1)·(2·2)·(2·3)·(2·4)·(2·5)·(2·6)·(2·7)·(2·8)·…·(2·16)·…·(2·19)·(2·20)=
= [tex] 2^{20} [/tex]·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·…·20)
Deci:
2·4·6·8·10·12·14·16·…·32·34·36·38·40 =
= [tex] 2^{20} [/tex]·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·…·20)
Dintre factorii de la 1 la 20 din paranteză,
se divid la 2 multipli lui 2 mai mici sau egali cu 20:
2·1=2, 2·2=4, 2·3=6, 2·4=8, 2·5=10, …, 2·10=20
Produsul celor 10 numere de la 1 la 20 care se divid la 2 este
2·4·6·8·10·12·14·16·18·20 =
= (2·1)·(2·2)·(2·3)·(2·4)·(2·5)·(2·6)·(2·7)·(2·8)·(2·9)·(2·10)=
= [tex] 2^{10} [/tex]·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10) =
Se divid la 2 următorii factori din paranteză: 2, 4, 6, 8 si 10;
iar 4=2·2, 6=2·3, 8=2·2·2, 10=2·5, rezultând
= [tex] 2^{10} [/tex]·[1·2·3·(2·2)·5·(2·3)·7·(2·2·2)·9·(2·5)] =
= [tex] 2^{10} [/tex]·2·(2·2)·2·(2·2·2)·2·(1·3·5·3·7·9·5) =
= [tex] 2^{10} [/tex]·2·[tex] 2^{2} [/tex]·2·[tex] 2^{3} [/tex]·2·(1·3·5·3·7·9·5) = [tex] 2^{10+1+2+1+3+1} [/tex]·(1·3·5·3·7·9·5) =
= [tex] 2^{18} [/tex]·(1·3·5·3·7·9·5)
Deci:
2·4·6·8·10·12·14·16·…·20 = [tex] 2^{18} [/tex]·(1·3·5·3·7·9·5)
Deci produsul numerelor de la 1 la 40 care se divid la 2 este
2·4·6·8·10·12·14·16·…·32·34·36·38·40 =
= [tex] 2^{20} [/tex]·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·…·20)=
= [tex] 2^{20} [/tex]·(2·4·6·8·10·…·20)·(1·3·5·7·9·11·…·19)=
= [tex] 2^{20} [/tex]·[tex] 2^{18} [/tex]·(1·3·5·3·7·9·5)·(1·3·5·7·9·11·…·19)=
= [tex] 2^{20+18} [/tex]·(1·3·5·3·7·9·5)·(1·3·5·7·9·11·…·19)=
= [tex] 2^{38} [/tex]·(1·3·5·3·7·9·5)·(1·3·5·7·9·11·…·19)
rezultă că x=38
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!