👤
ANTOMARIEZE
a fost răspuns

Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia [tex] lg^{2} x^{2} + 3lg \frac{1}{x} = 1[/tex]

Răspuns :

CRISTINATIBULCAZE
x>0
(lgx²)²+3lgx⁻¹=1
(2lgx²)²-3lgx=1
4lgx²-3lgx-1=0
lgx=t
4t²-3t-1=0
t1=1, lgx=1, x=10
t2=-1/2, lgx=-1/2 imposibil
[tex]\it \lg^2x^2+3\lg\dfrac{1}{x} =1 [/tex]

 Condiția de existență a ecuației este x > 0

  Ecuația se mai poate scrie:

[tex]\it (\lg x^2)^2 +3\lg x^{-1} -1 = 0 \Rightarrow (2\lg x)^2+3\cdot(-1) \lg x -1 =0[/tex]

[tex]\Rightarrow \it 4\lg^2 x -3 \lg x -1 = 0[/tex]


Notăm  lg x = t  și ecuația devine:

[tex]\it 4t^2 - 3t -1 = 0[/tex]

Intuim că t = 1 este o soluție.

Descompunem în factori partea dreaptă a ecuației :

[tex]\it 4t^2-3t-1 = 0 \Leftrightarrow 4t^2-4t+t-1 = 0 \Leftrightarrow \\\;\\ \Leftrightarrow \it 4t(t-1)+(t-1) = 0 \Leftrightarrow (t-1)(4t+1) = 0[/tex]

[tex]\it 4t+1 = 0 \Longrightarrow t =-\dfrac{1}{4}[/tex]

[tex]\it t-1 = 0 \Longrightarrow t = 1[/tex]

Revenim asupra notației și obținem:

[tex]\it \lg x =-\dfrac{1}{4} \Longrightarrow x = 10^{-\dfrac{1}{4}}[/tex]

[tex]\it \lg x = 1 \Longrightarrow x =10[/tex]




Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!


Ze Lesson: Alte intrebari