👤
a fost răspuns

Saluut! Cum demostrez asta ? :
[tex](a1 + a2+ ...+an) ^{2} \leq n*(a1) ^{2} + n*(a2 )^{2} + n*(a3) ^{2} +...+ n*(an) ^{2}
[/tex]
Specific ca aceia sunt indici !

Răspuns :

C04FZE
Din exemplul pentru 3 termani, se observa pentru cazul general fara inductie completa. [tex] (a_{1}+ a_{2}+ a_{3})^2 \leq 3 a_{1}^2+3 a_{2}^2+ 3a_{3}^2 [/tex], demonstram folosind echivalenta, presupunem adevarata relatia, ea este echivalenta cu :[tex] a_{1}^2 + a_{2}^2 + a_{3}^2+2( a_{1} a_{2}+ a_{1} a_{3}+ a_{2} a_{3}) \leq 3 a_{1}^2+ 3a_{2}^2+ 3 a_{3}^2 [/tex], trecem totul in dreapta si facem reducerile, ⇔ [tex]0 \leq 2 a_{1}^2+2a _{2}^2+ 2a_{3}^2-2 a_{1} a_{2}-2 a_{1} a_{2}-2 a_{2} a_{3} [/tex], echivalent cu: 0[tex] \leq ( a_{1}- a_{2})^2 +( a_{1}- a_{3})^2 +( a_{2}- a_{3})^2 [/tex], evident adevarata ca suma de patrate, deci este ≥0, ceea ce inseamna ca presupunerea este adevarata. Procedand analog cu relatia data se obtine: [tex]0 \leq (a_{1}- a_{2})^2+ (a_{1}- a_{3})^2+...+( a_{1}- a_{n})^2+ (a_{2}- a_{3})^2+...+ [/tex][tex]( a_{2}- a_{n})^2+...+ (a_{n-1}- a_{n})^2,adevarata. [/tex]
ALBASTRUVERDE12ZE
[tex]Nu~este~nevoie,~iata: \\ \\ Imparti~relatia~la~n^2~si~obtii: \\ \\ \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{n^2} \leq \frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n} . \\ \\ Termenii~fiind~ \geq 0,~ultima~relatie~este~echivalenta~cu: \\ \\ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \leq \sqrt{ \frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n} },~care~este~adevarata~conform \\ \\ inegalitatii~mediilor~(membrul~stang~este~media~aritmetica, \\ \\ iar~membrul~drept~este~media~patratica). [/tex]

[tex]Sau,~in~fine,~inegalitatea~ta~este~de~fapt~un~caz \\ \\ particular~al~inegalitatii~Cauchy-Buniakovski-Schwartz. \\ \\ (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(1^2+1^2+...+1^2) \geq (a_1 \cdot 1+a_2 \cdot 1 +...+ \\ \\ +a_n \cdot 1).[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!


Ze Lesson: Alte intrebari