Răspuns :
[tex]Sn=5+55+555+\hdots + 55 \hdots 5 \\ \texttt{Sirul are n termeni, iar ultimul termen are n cifre. } \\ \texttt{Vom face transformari astfel incat in loc de } \\ \texttt{cifra 5 sa avem cifra 9 } \\ \\ 5+55+555+\hdots + 55 \hdots 5 = \\ = 5(1+11+111+\hdots + 11 \hdots 1) = \\ \\ =5\times \frac{9}{9} \times (1+11+111+\hdots + 11 \hdots 1) = \\ \\ = \frac{5}{9} (9+99+999+\hdots + 99 \hdots 9) = ~\text{Acum adunam 1 la fiecare termen.}[/tex]
[tex]=\frac{5}{9} (9+99+999+\hdots + 99 \hdots 9 + n - n) = \\ \\ =\frac{5}{9} (9+1+99+1+999+1+\hdots + 99 \hdots 9+1 - n) = \\ \\ =\frac{5}{9} (10+100+1000+\hdots + 10 \hdots 0 - n) = \\ \\ \texttt{Avem n termeni din care ultimul are 1 urmat de n zerouri.} \\ \texttt{Ptimul termen are 2 cifre si termenul n are n+1 cifre.} \\ \\ = \frac{5}{9}(111111....de ~n ~ori ....110 -n) = \displaystyle \\ \\ \texttt{Nr. are n de 1 si un zero.} \\ \\ = \frac{5((111111....de ~n ~ori ....110 -n) )}{9} =[/tex]
[tex]\displaystyle \\ = \boxed{\frac{555555....de ~n ~ori ....550 -5n}{9} } \\ \\ \texttt{La numarator avem un numar format din n de 5 urmat de 0,} \\ \texttt{din care se scade 5n, iar la numitor este 9.}[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!