👤
a fost răspuns

sa se arate ca ca daca [tex] a_{1} , a_{2} ,... a_{n} [/tex] sunt numere reale pozitive in progresie aritmetica atunci :[tex] \frac{1}{ \sqrt{ a_{1} }+ \sqrt{ a_{2} } } + \frac{1}{ \sqrt{ a_{2} }+ \sqrt{ a_{3} } } +..+ \frac{1}{ \sqrt{ a_{n-1} }+ \sqrt{ a_{n} } } = \frac{n-1}{ \sqrt{ a_{1} }+ \sqrt{ a_{n} } } [/tex] ∀ n≥2.

Răspuns :

C04FZE
Fiind o progresie aritmetica, vom folosi aici: [tex] a_{k}- a_{k+1} =-r,si: a_{n}= a_{1}+(n-1)r,de.unde.deducem; [/tex], [tex]a_{1}- a_{n}=-(n-1)r.[/tex].
Rationalizam numitorii in membrul stang, amplificam fiecare fractie cu conjugatul numitorului si obtinem: 
[tex] \frac{ \sqrt{ a_{1} }- \sqrt{ a_{2} } }{ a_{1}- a_{2} }+\frac{ \sqrt{ a_{2} }- \sqrt{ a_{3} } }{ a_{2}- a_{3} }+...+\frac{ \sqrt{ a_{n-1} }- \sqrt{ a_{n} } }{ a_{n-1}- a_{n} }=[/tex], numitoriirunt egali cu -r, iar termenii se reduc si ne ramane :
[tex]- \frac{1}{r}( \sqrt{ a_{1} }- \sqrt{ a_{n} })= - \frac{1}{r} \frac{ a_{1}- a_{n} }{ \sqrt{ a_{1} }+ \sqrt{ a_{n} }} = \frac{n-1}{ \sqrt{ a_{1} }+ \sqrt{ a_{n} }} ,[/tex], la ultima fractie am folosit formula data la inceput.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!


Ze Lesson: Alte intrebari