👤
ALBINUTZA36ZE
a fost răspuns

Sa se arate ca daca numerele a,b,c sunt in progresie aritmetica ,atunci si numerele [tex] A_{1} [/tex] =[tex] a^{2} [/tex]-bc, [tex] A_{2} [/tex]=[tex] b^{2} [/tex]-ca, [tex]A_{3}[/tex]=[tex]c^{2}[/tex]-ab sunt,de asemenea, in progresie aritmetica.
R.Faptul ca a,b,c sunt in progresie aritmetica il exprimam prin 2b=a+c. A afirma ca numerele [tex] A_{1}, A_{2} , A_{3} [/tex] sunt in progresie aritmetica revine la a arata ca [tex]2A_{2}=A_{1}+A_{3} [/tex] sau [tex]2b^{2}-2ac=(a^{2}-bc)+(c^{2}-ab)[/tex] sau [tex]b(2b+a+c)=(a+c)^{2} [/tex] sau [tex]2b(a+c)=(a+c)^{2}[/tex] , evident daca tinem seama de conditia 2b=a+c.

Completati rezolvarea!

Răspuns :

DAVIDPISCOTZE
         Verificam daca a,b,c sunt in progresie aritmetica:
a=a; b=a+r; c=a+2r
2b=a+c
2(a+r)= a+a+2r<=>2a+2r=2a+2r
Deci, dupa cum observam, a,b,c, sunt in progresie aritmetica.
Acum demonstram ca A1,A2,A3 sunt in progresie aritmetica.
2A2=A1+A3
Stim ca A2:
A2=b²-ac
A2= (a+r)²-a(a+2r)
A2= a²+2ar+r²-a²-2ar
A2=r²----observam ca se reduc toti termenii asemenea, in afara de r².
Deci, 2A2=2r²
A1=a²-bc
A1= a²-(a+r)(a+2r)
A1=a²-a²-2ar-ar-2r² (se reduce a² cu -a²) si ne ramane:
-3ar-2r²
A3=c²-ab
A3= (a+2r)² -a(a+r)
A3= a²+4ar+4r²-a²-ar= 3ar+4r²
Stim ca:
2A2=A1+A3
2r²= -3ar-2r²+3ar+4r²= 2r² (s-a redus din termenii asemena)
Am ajuns la rezultatul 2r²=2r²<=>2A2=A1+A3; Dupa cum observam, A1,A2 si A3, sunt in progresie aritmetica.
Deci, a,b,c fiind in progresie aritmetica, atunci si A1, A2, A3 sunt.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!


Ze Lesson: Alte intrebari