👤
TRIXXIE18ZE
a fost răspuns

Pe R se defineste legea de compozitie
X*y=xy-5(x+y)+30
A) sa se determine elementul neutru al legii de compozitie
B) sa se determine simetricul legii lui 2 in raport cu *
C) sa se verifice ca * este asociativa
D) sa se rezolve ecuatia x+y=x,x€R

Răspuns :

A) Trebuie sa determinam elementul neutru e din relatia: x * e = e * x = x.
x * e = x e - 5 (x + e) + 30
e * x = e x - 5 (e + x) + 30
x * e = x, x e - 5 (x + e) + 30 = x, x e - 5x - 5e + 30 = x,
x (e - 5) - 5 (e - 6) = x, deci e = 6 element neutru.

B) Simetricul lui 2 in raport cu *. Vrem sa verificam relatia x * 2 = 2 * x = e.
x * 2 = x 2 - 5 (x + 2) + 30 = 2x - 5 (2 + x) + 30 = 6.
2x - 5 (2 + x) + 30 = 2x - 10 - 5x + 30 = -3x + 20 = 6, -3x = 6 - 20, -3x = -14,
x = 14 / 3.
Simetricul lui 2 in raport cu legea * este s = 14 / 3.

C) Deoarece legea admite element neutru e = 6 si element simetrizabil
s = 14 / 3, verificam daca relatia: (x * y) * z = x * (y * z) este satisfacuta.
(x * y) * z = (xy - 5 (x + y) + 30) * z (1)
Notam xy - 5 (x + y) + 30 = t. Relatia (1) devine:
t * z = tz - 5 (t + z) + 30 = [xy - 5 (x + y) + 30] z - 5 [xy - 5 (x + y) + 30 + z] + 30
= xyz - 5xz - 5yz + 30z - 5xy + 25x + 25y - 150 - 5z + 30 =
= xyz - 5xz - 5yz - 5xy + 25x + 25y + 25z - 120.

x * (y * z) = x * (yz - 5 (y + z) + 30) (2)
Notam y * z = yz - 5 (y + z) + 30 = u. Relatia (2) devine:
x * u = xu - 5 (x + u) + 30 = x [yz - 5 (y + z) + 30] - 5 [x + yz - 5 (y + z) + 30] +
30 = xyz - 5xy - 5xz + 30x - 5x - 5yz + 25y + 25z - 150 + 30 =
= xyz - 5xz - 5yz - 5xy + 25x + 25y + 25z - 120.
Deci legea * este asociativa.

D) x * y = x, dar la punctul A) x * e = x, deci y = e = 6. Deoarece y = 6, rezulta
ca x este un nr. real x = α, α ∈ R.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!


Ze Lesson: Alte intrebari