Răspuns :
[tex]\texttt{Enuntul problemei:} \\ \text{intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este egala } \\ \text{cu 20,8 dm iar lungimiile proiectiilor catetelor sunt direct proportionale} \\ \text{cu 0,1(6) si 0,375. Aflati lungimea inaltimii corespunzatoare ipotenuzei.} \\ \\ Notat: \\ \Delta ABC ~cu~ \ \textless \ A=90^o \\ Ipotenuza~BC \\ Catetele AB~ si ~AC ~si ~ inaltimea AD ~unde ~D \in BC\\ Se ~cere: \\ AD = ?[/tex]
[tex]\displaystyle Rezolvare: \\ \frac{BD}{0,1(6)}= \frac{CD}{0,375} ~\Longleftrightarrow~ \frac{BD}{ \frac{16-1}{90}}= \frac{CD}{ \frac{375}{1000}} ~\Longleftrightarrow~ \frac{BD}{ \frac{1}{6}}= \frac{CD}{ \frac{3}{8}} =k \\ BD+CD=20,8 \\ --- \\ BD= \frac{1}{6}k ~~si~~CD=\frac{3}{8}k \\ \\ BD+CD= \frac{1}{6}k+ \frac{3}{8}k= 20,8 \\ \\ \frac{4k+9k}{24}=20,8 \\ \\ 13k= 24 \times 20,8 \\ k= \frac{24 \times 20,8}{13}= 24 \times 1,6 = 38,4 [/tex]
[tex]\displaystyle \\ BD= \frac{1}{6}k = \frac{1}{6} \times 38,4 = \frac{38,4}{6}= \boxed{6,4 ~dm} \\ \\ CD=\frac{3}{8}k= \frac{3}{8}\times 38,4= \frac{3 \times 38,4}{8}=3 \times 4,8 = \boxed{14,4 ~dm} \\ \\ \text{Aflam catetele folosind teorema catetei:}\\ \text{Patratul catetei = prod. dintre ipotenuza si proiectia ei pe ipotenuza} \\ AB = \sqrt{ BD \times BC}= \sqrt{ 6,4 \times 20,8}= \sqrt{\frac{64 \times 208}{100}}= \sqrt{\frac{64 \times 16 \times 13}{100}}= [/tex]
[tex]\displaystyle =\frac{8 \times 4 \times \sqrt{13}}{10}= \boxed{3,2\sqrt{13}~dm} \\ \\ AC= \sqrt{ CD \times BC}= \sqrt{ 14,4 \times 20,8}= \sqrt{\frac{144 \times 208}{100}}= \\ \\ \sqrt{\frac{144 \times 16 \times 13}{100}}=\frac{12 \times 4 \times \sqrt{13}}{10}=\boxed{4,8\sqrt{13}~dm} \\ \\ \text{Calculam inaltimea AD :} \\ \\ AD = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3,2\sqrt{13} \times 4,8\sqrt{13}}{20,8} = \frac{3,2 \times 4,8 \times 13}{20,8}= [/tex]
[tex]\displaystyle \\ = \frac{3,2 \times 3 \times 1,6 \times 13}{20,8}=\frac{3,2 \times 3 \times 20,8}{20,8}=3,2 \times 3 = \boxed{\boxed{9,6 ~dm }}[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!