[tex] \frac{1}{n(n+k)} = \frac{ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} }{k} [/tex]
inmultesc relatia cu k (si la numitor in dreapta se simplifica)
[tex] \frac{k}{n(n+k)}= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} [/tex]
in dreapta amplifi cu n si cu n+k pentru a aduce la acelasi numitor
[tex] \frac{k}{n(n+k)}= \frac{n+k-n}{n(n+k)}[/tex]
si dupa ce se simplifica n din dreapta de la numarator este clar ca sunt egale
iar la suma se plica aceasta relatie demonstrata mai sus:
1/1*3=1/2(1/1-1/3)
1/3*5=1/2(1/3-1/5)
............................
si se observa ca mereu va fi acel 1/2 (care in formula este egal cu k)
deci dau direct factor comun pe 1/2
si rezulta
S=[tex] \frac{1}{2} ( \frac{1}{1}-\frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}+......+ \frac{1}{23} - \frac{1}{25} )[/tex]
de asemenea se observa ca se simplifica in paranteza toti termenii si ramn doar primul si ultimul
S=[tex] \frac{1}{2} ( \frac{1}{1} - \frac{1}{25} )= \frac{1}{2} * \frac{24}{25}[/tex]
deci suma este
S=[tex] \frac{12}{25} [/tex]
