👤
a fost răspuns

Sa se demonstreze ca pentru orice numar natural n avem:
a)n^3+11n este divizibil cu 6
b)10^n +18n-28 este divizibil cu 27
c)9^{n+1}-8n-9 este divizibil cu 16.
Prin inductie matematica ,va rog.....

Răspuns :

DAVIDPISCOTZE
a)P(n): n³+11n divizibil cu 6
Prima etapa a inductiei:
Ii dam lui n valoarea 2:
2³+11*2 divizibil cu 6
30 e divizibil cu 6=>P(2) adevarat.
Presupunem ca P(k) e adevarat 
Formam P(k+1)
P(k+1) : (k+1)³+11(k+1) divizibil cu 6
 => k³+3k²+3k+1+11k+11=>   (k³+11k)+3k²+3k+12<=>
(k³+11k)+12+3k(k+1); de aici deducem ca este divizibil cu 6
=>P(k) adevarata.
b)10^n+18n-28
P(0) : 1+0-28 ==27 =>divizibil cu 27 =>P(0) adevarata.
Presupunem ca P(k ) e adevarata si demonstram P(k+1)
10 ^k+1 +18(k+1) -28
10*10^k+18k+18-28
10*10^k+18k-10 ; grupandu-i ca sa formam ce am avut prima data, obtinem ca  este divizibil cu 27.
c) 9 ^n+1-8n-9
P(1): 81-8-9= 64 =>ca este divizibil cu 16; deci P(1) e adevarata.
Presupunem ca P(k) e adevarata si demonstram P(k+1)
9^n+1 - 8n-9= 9^n*9 -8n-9
Daca n=2k
9^2k* 9 -16k-9= 81^k-16k-9 =(80+1) ^k -16k-9=Multiplu de 16+9 -16k -9=M16
Daca n=2k+1
=> 81^k+81-16k -8-9 =Multiplu de 16 +81 -16k-17=Multiplu de 16 -64=Multimplu de 16 
Deci, P(k+1) e adevarata=>P(n) e adevarata.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!


Ze Lesson: Alte intrebari